PPT《梁建英河北经贸大学数统学院》

0 sinx x <

0 在x=0处的连续性. y x O

1 y = sinx y=x+1 由图可知, 函数在 点x0 处间断. 例6 故x=0是f(x) 的第一类间断点. 将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点. 解 讨论 ?函数在 x =1 无定义, 故x=1 为函数的第一类间断点. ? x =1 为函数的间断点. y x O

1 1 P(1,2) y= x +

1 进一步分析该间断点的特点. 解例7 补充定义 则函数 f *(x) 在x=1 连续. f * (x) =

2 x =

1 即定义 分析 这种间断点称为可去间断点. 处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将 在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点 这个间断点的特点是该处的左、右极限存 补充定义 f * (x) = , x = x0 跳跃型间断点 可去间断点 第一类间断点 左右极限存在 极限不相等 极限相等、补充定义 (2) 第二类间断点 凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点. 这算定义吗? 定义 即左右极限至少有一个不存在的点. 讨论函数 x y O 在x=0无定义, x = 0为函数的间断点, 故x=0为函数 的第二类间断点. 所以称它为无穷间断点. 由于 解例8 在x=0处无定义, 又 不存在, 故x=0为函数的第二类间断点. 看看该函数的图形. 解例9 O ?1

1 x y 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在 左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡 连续函数的运算 及其基本性质 回忆函数极限的四则运算 则 回忆函数极限的四则运算 则 现在怎么说? 1.连续函数的四则运算 设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 则即有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即2.几个重要定理 这些定理与极限中的定理类似 x y y = f (x) y = | f (x) | O 若f(x) 在区间 I 上连续, 则|f(x) | 仍在I上连续. 定理

1 ? x0?I , 由f(x) 在x0 的连续性: ?? ? ? ? ? ? ? ? , 当| x? x0 | <

? 时, 有|f(x) ? f (x0) | <

? 此时, 由绝对值不等式得 | | f (x) | ? | f (x0)| | ? | f (x) ? f (x0) | <

? 由x0 的任意性, | f (x) | 在区间 I 上连续. (若I为闭区间, 则对区间端点时指的 左, 右极限. ) 证 该定理的逆命题不成立. 例如, f (x) = 1, x 为有理数, ?1, x 为无理数. 注意: 证例10 若函数 f (x) 在点 x0 连续, 且f(x0) >

0, (或f(x0) <

0) , 则必 ? ? >

0, 使当 x?U(x0, ?) 时, 有f(x) >

0 (或f(x) <

0 ). 定理

2 (保号性定理) 能看出一点 什么问题来 吗? . 保号性的几何示意图 设函数 f (x) 在点 x0 处连续. 则必 ? ? >

0, 使当 x?U(x0 , ? ) 时, 有若f(x0) >

0, 推论 反函数的连续性 y = f -1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180? 而成, 故单调性、连续性仍保持. 从几何上看: x = f -1(y) 与y=f(x) 的图形相同, 连续性保持. 从而, 单调性、 设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加 (减少) 且连续, 则其反函数 在相应的 区间 I* = { y | y = f (x) , x?I } 上严格单调增加 (减少) 且连续. 定理

3 (反函数连续性定理) x y

1 ?1 O x y

1 ?1 O 例11 讨论复合函数的连续性 如果 y = f (u) 在u0 处连续, 则??????? ? ? , 当|u?u0| <

? 时, 有|f(u) ? f (u0) | <

? 再假设 u = ? (x) , 且在 x0 处连续, 即 亦即 | u? u0 | = | ? (x) ? ? (x0) | <