PPT《梁建英河北经贸大学数统学院》

梁建英河北经贸大学数统学院 E-mail:liangjy@heuet.

edu.cn 微积分§6 函数的连续性

一、连续函数的概念 二. 函数的间断点 连续函数的运算 及其基本性质 四.初等函数的连续性

一、连续函数的概念 极限形式 增量形式 设f(x) 在U(x0) 内有定义, 若 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的. 1.函数连续性的定义 (极限形式) 可减弱:x0 为聚点 函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的. 定义 是整个邻域 函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点: (1) f (x) 在U(x0) 内有定义;

(包括在点 x0 处有定义) (极限值等于函数在点 x0 处的函数值) 函数 y = x2 在点 x =

0 处是否连续 ? ? 函数 y = x2 在点 x =

0 处连续. 又且?y=x2在U(0) 内有定义, 解例1 函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用《 ? ? ? 》语言描述它. 2.连续性的《 ?-? 语言》形式 设函数 f (x) 在U(x0) 内有定义. ?? ? ?, 若????, 当|x?x0 | <

? 时, 有 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的. | f (x) ?f (x0) | <

? 成立, 定义 3.连续性概念的增量形式 在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的 初值 u1 的差 u2 ? u1, 称为变量 u 在u1处的 增量, 记为 ?u = u2-u1. 定义 ?u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称 ?u 为变量 u 在u1 处的差分. 设函数 f (x) 在U(x0)内有定义, x?U(x0) , 则称?x = x ? x0 为自变量 x 在x0 点处的增量. = f (x0 + ? x) ? f (x0 ) ?y = f (x) ? f (x0 ) ?x ?y O x0 x x y y = f (x) 此时, x = x0 + ?x , 相应地, 函数在点 x0 点处 有增量 ? y 连续性概念的增量形式 则称 f (x) 在点 x0 处连续. 设f(x) 在U(x0) 内有定义. 若 定义 自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零. 4.函数的左、右连续性 设函数 f (x) 在[x0, x0+? ) 内有定义. 若 则称 f (x) 在x0 点处右连续. 设函数 f (x) 在(x0C ? , x0 ] 内有定义. 若 则称 f (x) 在x0 点处左连续. 其中, ? ? ? 为任意常数. 定义 函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0 既 左连续又右连续. 定理 讨论 y = | x |, x?(?????) 在点 x =

0 处?y=|x|在点 x =

0 处连续. x y y = | x | O 的连续性. 解例2 讨论 y = sgn x 在点 x =

0 处的连续性. sgn x= 1,x >

0, sgn x|x=0=sgn

0 =

0 故符号函数 y = sgn x 在点 x =

0 处不连续. 0,x = 0, ?1,x <

0. 解例3 讨论函数 f (x) = x2, x ?1, 在x=1处的连续性. ? 函数 f (x) 在点 x =

1 处不连续. 故函数 f (x) 在点 x =

1 处是左连续的. x + 1, x >

1, 但由于 解例4 5.函数在区间上的连续性 设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义. 若?x0?(a, b), f (x) 在点 x0 处连续, 则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为 f (x)?C( (a, b) ). 定义 若f(x)?C( (a, b) ), 且f(x) 在x=a处右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 记为 f (x)?C( [a, b] ). 对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性 定义 一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续, 则记为 f (x) ?C( I ) . 二. 函数的间断点 通常将函数的不连续点叫做函数的间断点. 函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点: (1) f (x) 在U(x0) 内有定义;

(包括在点 x0 处有定义) (极限值等于函数在点 x0 处的函数值) (1) f (x) 在x0 处无定义. 1.函数间断点的定义 满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x) 若函数 f (x) 在 内有定义, 且在点 x0 处 在点 x0 处间断, 点x0 称为函数 f (x) 的一个间断点: 定义 求函数间断点的途径: (1) f (x)在x0 处无定义, 但f(x) 在 内有定义. (2) 中至少有一个不存在. (3) 存在, 但不相等. (4) 但a?f(x0 ). 2.函数间断点的分类 函数的间断点 第一类间断点 第二类间断点 跳跃 可去 无穷 振荡 其它 (1) 第一类间断点 若x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且f(x) 的第一类间断点. 则称 x0 为函数 定义 讨论函数 f (x)= x +1 x >