PDF《一种协方差矩阵的多尺度量子谐振子算法》

为了解决多尺度收敛问题,加入 动态衰减机制,利用动态迭代步长保证重要维度采样 信息的同时加速收敛;

通过实验,比较CM-MQHOA 与MQHOA的性能区别,与选取的4个经典优化算法 对比,说明了改进算法的优化性能. 收稿日期: 2016-11-07;

修回日期: 2017-02-12. 基金项目: 国家自然科学基金项目(71673032, 60702075);

国家社会科学基金项目(12XSH019). 作者简介: 安俊秀 (1971?) , 女, 教授, 从事社会计算、 智能优化算法等研究;

陆志君(1991?), 男, 硕士生, 从事智能 优化算法、 分布式计算的研究. ? 通讯作者. E-mail: wp002005@163.com 第12期 安俊秀 等: 一种协方差矩阵的多尺度量子谐振子算法

2255 1 MQHOA算法 量子谐振子是量子力学重要的物理模型之一. MQHOA基于这个模型近似模拟分子运动规律,利用 微粒动态振动时在振子平衡位置达到势能最低点来 解决全局优化问题. 在理论上利用量子谐振子波函 数的概率解释构造算法核心,凭借量子隧道效应保证 全局最优区域采样数目足够大,以避免陷入局部最优 位置. 通过与其他算法进行对比实验[3] ,进一步说明 其具有更好的计算速度和计算精度. MQHOA算法的核心是利用量子谐振子的薛定 谔方程的解得到如下概率密度函数: |ψn (x) |2 =

1 2nn! (mω π? )1

2 e? α2x2

2 |Hn (αx) |2 . (1) 其中: ψ 表示波函数, m表示粒子的广义质量, ω 表示 粒子的振动频率, ? 表示普朗克常量, H 表示哈密顿 算符, n表示能级数. 式(1)中,随着能级的减少,量子 谐振子从高能态到低能态逐渐收敛,直到收敛到基能 态ψ0(x) = √ α π1/4 e?α2 (x?x0)2 /2 .因此,定义MQHOA算 法在尺度σs 下的波函数为k 个以ki 为中心的高斯概 率密度函数的迭加,即ψQHO (x) = k ∑ i=1

1 √ 2πσs e ? (x?ki)2 2σs2 . (2) ψQHO 近似代表了目标函数以k个最优解为中心 的目标函数在可行域上的概率分布,通过引入多尺度 优化函数二进信息采样模型,把高斯函数作为二进小 波尺度函数,按照不同尺度和不同精度要求进行聚焦 搜索,可以保证信息的不遗漏采样,从而获得全局最 优解. 文献 [4] 把MQHOA 的收敛过程划分为两个过 程,即在同一尺度向量σs 下的量子谐振子收敛过程 (QHO收敛)和多尺度收敛过程(M收敛). 前者可以理 解是横向收敛过程,后者是纵向收敛过程. QHO收敛 过程实现对搜索空间的逐步收缩定位, M 收敛过程 实现对采样精度的逐步提高. 研究发现, MQHOA虽 然在低维下收敛速度快,结果精确,但当维度升高(大于10维)后就很难收敛. 原因在于, QHO收敛过程中 随机迭代算法所固有的 无记忆性 不能将迭代过程 中的优良个体有效保留, 另一方面 M 收敛过程直接 采用尺度减半的固定方式会导致在某些重要维度上 搜索的细节缺失,而这些重要维度对适应度函数值的 影响至关重要,不应与其他维度上的搜索同等对待.

2 CM-MQHOA算法 下面根据协方差矩阵分别对MQHOA的两个收 敛过程加以改进,以增强算法性能. 为了使描述便于 理解,先给出以下概念:如果一个随机样本X = {x1, x2,xn}的概率分布密度函数有如下形式: f(x) = (2π)? n

2 |C|?

1 2 * exp { ?

1 2 (x ? m) ′ C?1 (x ? m) } . 其中: x 为任意样本点;

C 为n*n正定矩阵, 满足 cov(X) = C;

m = (m1, m2,mn)为样本均值 向量. 则称X 服从n元正态分布,记作X ? Nn(m, C). 对于任意常数c ? 0, X 的概率分布密度函数的 几何表示为曲面(x ? m) ′ C?1 (x ? m) = c,称之为 X 的等密度曲面,在Rn 空间是以?为中心的超椭圆. 由线性代数正定矩阵概念可以推出如下定理. 定理1 设Cs 是来自正态总体Nn(m, C)的样 本协方差矩阵, 样本数为λ, Cs 为正定矩阵的充要条 件为λ >