PDF《宇世航核实数据下响应变量缺失的线性模型均值估计_宇世航》

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4 山东大学学报(理学版) 第45卷

1 回归系数的估计 假设主要数据{ ( Xi,Yi,δi)ni=1}是独立同分布( i . i . d ) 的样本, 且与 i . i . d的核实样本{ ( X i , Xi)n+mi=n+1}相互独立, 其中当 Y i缺失时 δ i=

0 , 否则 δ i=

1 .进一步假定 E ( ε | X)=

0 , 令u(X)= E ( X| X),则基于完全观测 数据, 模型(

0

1 ) 可改写为 δ Y= δ u Τ ( X)β+ δ η , (

1

1 ) 其中 η= ε+ X Τ β- u Τ ( X)β.利用核实数据, 在X= x的情况下用 X的核回归来估计模型(

1

1 ) 的回归系数 u ( X),u(X)的估计定义为 ^ u m( x)= ∑ n + m i = n +

1 X i K Xi-xh()m∑n+mi=n+1KXi-xh()m,(12)其中 K ( ・) 为核函数, h m 是收敛于 0的窗宽. 定义 β 的估计量是 S m , n ( β )=

1 n ∑ n j =

1 δ j ( Y j-^ u m( Xj)β)2+1m∑n+mi=n+1δi(Yi- X Τ i β )

2 (

1

3 ) 的最小值.由式(

1

3 ) 可得 β的估计量为 ^ β m , n=^ Σ -

1 m , n ^ A m , n , (

1

4 ) 这里, ^ Σ m , n=

1 n ∑ n j =

1 δ j ^ u m( Xj)^uΤm( Xj)+

1 m ∑ n + m i = n +

1 δ i X i X Τ i,^ A m , n=

1 n ∑ n j =

1 δ j ^ u m( Xj)Yj+

1 m ∑ n + m i = n +

1 δ i X i Y i . 令Dk是定义在 R P 上的连续函数族, 并且满足 i

1 x i

1 1 i

2 x i

2 2 … i p x i p p f ( x

1 , …, x p ) 一致有界.对任何向量 α , 用‖α ‖表示 E u c l i d e a n 模.给出正则条件( 下列条件统称为条件 A ) : ( A ・X ) E ‖X ‖

2 <

∞. ( A ・Y ) E Y

2 <

∞. ( A ・ε ) s u p xE[ε2|X=x]<

∞. ( A ・u ) u ( ・) ∈D k , k >

p +

1 . ( A ・K ) K ( ・) 是非负有界的 k 阶核函数, 且具有有界支撑. ( A ・X)(1)存在一正常数序列 η n满足 n P ( f x(X<

η n ) →0 ;

(

2 )f x∈D k . ( A ・h m)(

1 )m h

2 p m η

2 n →∞;

(

2 )m h

2 k m→0 . ( A ・n m ) n m →λ , λ ≥0为常数. ( A ・Σ ) Σ= E [ δ u ( X)uΤ(X)]+ E [ δ X X Τ ] 为正定. 定理

1

1 假设条件 A成立, 则有 n(^β- β → t t ) d N (

0 , Σ -

1 V Σ Τ ) , 其中 V= E [ δ u ( X)uΤ(X)(Y- u Τ ( X)β)2]+ λ { E [ δ u ( X)uΤ(X)[δ((X- u Τ ( X))Τβ)]2]+ E [ δ X X Τ ( Y- X Τ β )

2 ]+

2 E [ ( Y- X Τ β ) ( ( X- u Τ ( X))Τβ)XuΤ(X)]}.这里 ^ β m , n 的渐近方差由 ^ V=^ Σ -

1 n , m[ ^ V 1+^ V

2 ] ^ Σ Τ n , m一致估计, ^ Σ -

1 n , m同式(

1

4 ) 定义, 并且 ^ V 1=

1 n ∑ n j =

1 [ δ j ^ u m( Xj)^uΤm( Xj)(Yj-^ u Τ m( Xj)^βm,n)2],^V2= n m

2 ∑ m i =

1 { [ δ i ^ u m( Xi)^uΤm( Xi)[δi((Xi-^ u Τ i( Xi))Τ^ β m , n ) ]

2 ]+ [ δ i X i X Τ i( Y i- X Τ i ^ β m , n )

2 ]+

2 [ ( Y i- X Τ i ^ β m , n ) ( ( X i-^ u Τ i( Xi))Τ^ β m , n ) X i ^ u Τ i( Xi)]}.第8期 宇世航: 核实数据下响应变量缺失的线性模型均值估计

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5 2 响应均值的估计 记响应均值 E Y= θ , 下面基于上述回归系数的估计量 ^ β m , n , 给出 θ 的估计量及其渐近性质. 定义

2 .

1 ^ θ I=

1 n ∑ n i =

1 { δ i Y i+ ( 1- δ i ) ^ u Τ m( Xi)^βm,n}.定义

2

2 ^ θ p=

1 n ∑ n i =

1 δ i ^ P ( Xi)Yi+ 1- δ i ^ P ( Xi())^uΤm( Xi)^βm,{}n,这里 ^ P ( Xi)= ∑ n i =

1 δ i K Xi-xb()n∑ni=1KXi-xb()n为P(X)= P ( δ i=

1 | Xi=x)的核估计. 定理

2

1 在条件 A成立下, 有n(^θI- θ → t t ) d N (

0 , V I ) , 其中 V I= Σ 1+ β Τ Σ

3 β-

2 Σ Τ

4 β θ + θ

2 + Σ Τ 2( Σ -

1 V Σ Τ ) Σ 2+ Σ Τ 2( Σ -

1 V Σ Τ ) Σ

5 .记Σ1= E [ δ ( Y u Τ ( X)β)2],Σ 2= E [ ( 1- δ ) u ( X)],Σ 3= E [ u ( X)uΤ(X)],Σ 4= E [ u ( X)],Σ 5= E [ δ u ( X)].这里 θ I的渐近方差 V I的估计 ^ V I为^VI=^ Σ 1+^ β Τ^ Σ