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完全版 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版(高等教育出版社)

第一章 概率论的基本概念 1.

[一] 写出下列随机试验的样本空间 (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1) ,n表小班人数 (3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.([一] 2) S={10,11,12,………,n,………} (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上 正品 ,不合格的盖上 次品 ,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果. 查出合格品记为

1 ,查出次品记为

0 ,连续出现两个

0 就停止检查,或查满4次才停止检查. ([一] (3)) S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,} 2.[二] 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件. (1)A发生,B与C不发生. 表示为: 或A- (AB+AC)或A- (B∪C) (2)A,B都发生,而C不发生. 表示为: 或AB-ABC或AB-C (3)A,B,C中至少有一个发生 表示为:A+B+C (4)A,B,C都发生, 表示为:ABC (5)A,B,C都不发生, 表示为:或S- (A+B+C)或(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生 相当于中至少有一个发生.故 表示为:. (7)A,B,C中不多于二个发生. 相当于:中至少有一个发生.故 表示为: (8)A,B,C中至少有二个发生. 相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生.故 表示为:AB+BC+AC 6.[三] 设A,B是两事件且P (A)=0.6,P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB)取到最小值,最小值是多少? 解:由P (A) = 0.6,P (B) = 0.7即知AB≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理, P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>

1与P (A∪B)≤1矛盾). 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)-P (A∪B) (*) (1)从0≤P(AB)≤P(A)知,当AB=A,即A∩B时P(AB)取到最大值,最大值为 P(AB)=P(A)=0.6, (2)从(*)式知,当A∪B=S时,P(AB)取最小值,最小值为 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3 . 7.[四] 设A,B,C是三事件,且,. 求A,B,C至少有一个发生的概率. 解:P (A,B,C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+ P(ABC)= 8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少? 记A表 能排成上述单词 ∵ 从26个任选两个来排列,排法有种.每种排法等可能. 字典中的二个不同字母组成的单词:55个∴ 9. 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率.(设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2……9) 记A表 后四个数全不同 ∵ 后四个数的排法有104种,每种排法等可能. 后四个数全不同的排法有 ∴ 10.[六] 在房间里有10人.分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码. (1)求最小的号码为5的概率. 记 三人纪念章的最小号码为5 为事件A ∵ 10人中任选3人为一组:选法有种,且每种选法等可能. 又事件A相当于:有一人号码为5,其余2人号码大于5.这种组合的种数有 ∴ (2)求最大的号码为5的概率. 记 三人中最大的号码为5 为事件B,同上10人中任选3人,选法有种,且每种选法等可能,又事件B相当于:有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有种 11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶.在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少? 记所求事件为A. 在17桶中任取9桶的取法有种,且每种取法等可能. 取得4白3黑2红的取法有 故12.[八] 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个. (1)求恰有90个次品的概率. 记 恰有90个次品 为事件A ∵ 在1500个产品中任取200个,取法有种,每种取法等可能. 200个产品恰有90个次品,取法有种 ∴ (2)至少有2个次品的概率. 记:A表 至少有2个次品 B0表 不含有次品 ,B1表 只含有一个次品 ,同上,200个产品不含次品,取法有种,200个产品含一个次品,取法有种 ∵ 且B0,B1互不相容. ∴ 13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少? 记A表 4只全中至少有两支配成一对 则表 4只人不配对 ∵ 从10只中任取4只,取法有种,每种取法等可能. 要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只.取法有 15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少? 记Ai表 杯中球的最大个数为i个 i=1,2,3, 三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能 对A1:必须三球放入三杯中,每杯只放一球.放法4*3*2种. (选排列:好比3个球在4个位置做排列) 对A2:必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球.放法有种. (从3个球中选2个球,选法有,再将此两个球放入一个杯中,选法有4种,最后将剩余的1球放入其余的一个杯中,选法有3种. 对A3:必须三球都放入一杯中.放法有4种.(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种) 16.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少? 记A表 10个部件中有一个部件强度太弱 . 法一:用古典概率作: 把随机试验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序.但10组钉铆完10个部件要分先后次序) 对E:铆法有种,每种装法等可能 对A:三个次钉必须铆在一个部件上.这种铆法有〔〕*10种 法二:用古典概率作 把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件铆完.(铆钉要计先后次序) 对E:铆法有种,每种铆法等可能 对A:三支次钉必须铆在 1,2,3 位置上或 4,5,6 位置上,…或 28,29,30 位置上.这种铆法有种 17.[十三] 已知. 解一: 注意. 故有 P (AB)=P (A)-P (A)=0.7-0.5=0.2. 再由加法定理, P (A∪)= P (A)+ P ()-P (A)=0.7+0.6-0.5=0.8 于是 18.[十四] . 解:由 由乘法公式,得 由加法公式,得19.[十五] 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法). 解:(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间,求事件A发生的概率). 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x, y)(x, y=1,2,3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则样本空间为 S={(x, y)| (1,