PDF《第34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答》

11 E 1.49

10 m R ? ? ,彗星轨道近日点 A 到太阳的距离为地球轨道半径 的三分之一,不考虑地球和彗星之间的相互影响.求彗星 (1)先后两次穿过地球轨道所用的时间;

(2)经过 C、D 两点时速度的大小. 已知积分公式 ? ? ? ? 3/2 1/2

2 2

3 xdx x a a x a C x a ? ? ? ? ? ? ? ,式中 C 是任意常数. S A B C RE r P ? D

3 解: (1)由题设,彗星的运动轨道为抛物线,故1,

0 E ? ? ? ① 彗星绕太阳运动的轨道方程为:

1 cos k r ? ? ? ② 彗星绕太阳运动过程中,机械能守恒 ? ?

2 2

2 1

0 2

2 L mr V r E mr ? ? ? ? &

③ 式中 ? ? Mm V r G r ? ? ④ 当彗星运动到近日点 A 时,其径向速度为零,设其到太阳的距离为 min r ,由③式得 ? ?

2 min

2 min min

2 L Mm V r G mr r ? ? ? ⑤ 由⑤式和题给条件得

2 E min

2 2

3 L R r GMm ? ? ⑥ 由③式得

2 2

2 2 dr GM L dt r m r ? ? 或2222dr dt GM L r m r ? ? ⑦ 设彗星由近日点 A 运动到与地球轨道的交点 C 所需的时间为 t ? ,对⑦式两边积分,并利用 ⑥式得 E E E min

2 3 E

2 2

1 2

2 3 R R R r dr rdr t GM R GM L r r m r ? ? ? ? ? ? ? ⑧ 对⑧式应用题给积分公式得 E E

3 E 3/2 1/2 E E E E E

3 2 E

1 2

3 1

2 2

3 3

3 3

2 10

3 27 R R rdr t GM R r R R R R R GM R GM ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑨ 由对称性可知,彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为

3 2 E

20 3

2 27 R T t GM ? ? ? ⑩ 将题给数据代入⑩式得

6 6.40

10 s T ? ? ? (2)彗星在运动过程中机械能守恒

2 1

0 2 GMm m E r ? ? ? v ? 式中 v 是彗星离太阳的距离为 r 时的运行速度的大小.由?式有

4 2GM r ? v ? 当彗星经过 C、D 处时 C D E r r R ? ? ? 由??式得,彗星经过 C、D 两点处的速度的大小为 C D E 2GM R ? ? v v ? 由?式和题给数据得

4 C D 4.22

10 m/s ? ? ? v v ? 评分参考:第(1)问28 分,①式4分,②式2分,③式4分,④式2分,⑤式4分,⑥ ⑦⑧⑨⑩?式各

2 分;

第(2)问12 分,?式4分,????式各

2 分.

三、 (40 分)一质量为 M 的载重卡车 A 的 水平车板上载有一质量为 m 的重物 B,在 水平直公路上以速度

0 v 做匀速直线运动, 重物与车厢前壁间的距离为 L (

0 L ? ) . 因发生紧急情况,卡车突然制动.已知卡 车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为

1 ? ,重物与车厢底板间的动摩擦因数 和最大静摩擦因数均为

2 ? (

2 1 ? ? ? ) .若重物与车厢前壁发生碰撞,则假定碰撞时间极短, 碰后重物与车厢前壁不分开.重力加速度大小为 g . (1)若重物和车厢前壁不发生碰撞,求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走 过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程,并导出重物 B 与 车厢前壁不发生碰撞的条件;

(2)若重物和车厢前壁发生碰撞,求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的 时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量. 解: (1)若重物和车厢前壁不发生碰撞. 卡车在水平直公路上做匀减速运动,设其加速度大小为

1 a .由牛顿第二定律有

1 2

1 ( ) M m g mg Ma ? ? ? ? ? ① 由①式得

1 1

2 1 ( ) M m a g M ? ? ? ? ? ? 由匀减速运动公式,卡车从制动开始到静止时所用的时间

1 t 和移动的距离

1 s 分别为

0 0

1 1

1 1

2 ( ) M t a M m g ? ? ? ? ? ? ? v v ,