PDF《第34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答》

1 第34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答

2017 年9月16 日

一、 (40 分)一个半径为 r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于 一个半径为 R 、 质量为 M 的薄圆筒中, 圆筒和小圆柱的中心轴均 水平,横截面如图所示.

重力加速度大小为 g .试在下述两种情 形下,求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率: (1)圆筒固定,小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动;

(2) 圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动, 小圆柱仍在圆筒内底 部附近作无滑滚动. 解: (1)如图,? 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角. 小圆柱受三个力作用:重力,圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力.设圆筒对小圆柱的静摩擦 力大小为 F ,方向沿两圆柱切点的切线方向(向右为正) .考虑小圆柱质心的运动,由质心 运动定理得 sin F mg ma ? ? ? ① 式中, a 是小圆柱质心运动的加速度.由于小圆柱与圆筒间作无 滑滚动,小圆柱绕其中心轴转过的角度

1 ? (规定小圆柱在最低点 时10??)与? 之间的关系为

1 ( ) R r ? ? ? ? ? ② 由②式得, a 与? 的关系为

2 2

1 2

2 ( ) d d a r R r dt dt ? ? ? ? ? ③ 考虑小圆柱绕其自身轴的转动,由转动定理得

2 1

2 d rF I dt ? ? ? ④ 式中, I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量

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2 I mr ? ⑤ 由①②③④⑤式及小角近似 sin? ? ? ⑥ 得22203( ) ? ? ? ? ? d g dt R r ⑦ 由⑦式知,小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动,其振动频率为

1 π 6( ) g f R r ? ? ⑧ (2)用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小,

1 ? 和2?分别为小圆柱与圆筒转过的角 度 (规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向, 开始时小圆柱处于最低点位置

1 2

0 ? ? ? ? ) . 对于小圆柱,由转动定理得

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1 2

1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? d Fr mr dt ⑨ 对于圆筒,同理有

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2 2 ( ) ? ? d FR MR dt ⑩ R ? ?1 R

2 由⑨⑩式得

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1 2

2 2

2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d d F r R m M dt dt ? 设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角? , 由于小圆柱与圆筒 间做无滑滚动,有12()???????RrR?由?式得

2 2

2 1

2 2

2 2 ( ) ? ? ? ? ? ? d d d R r r R dt dt dt ? 设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为 a ,由质心运动定理得 sin F mg ma ? ? ? ? 由?式得

2 2 ( ) ? ? ? d a R r dt ? 由????式及小角近似sin? ? ? ,得22203dMmgdt M m R r ? ? ? ? ? ? ? ? 由?式可知,小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动,其振动频率为

1 2 2π

3 M m g f M m R r ? ? ? ? ? 评分参考:第(1)问20 分,①②式各

3 分,③式2分,④式3分,⑤⑥式各

2 分,⑦式3分,⑧式2分;

第(2)问20 分,⑨⑩?式各

2 分,?式3分,???式各

2 分,?式3分,?式2分.

二、 (40 分)星体 P(行星或彗星)绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线

1 cos k r ? ? ? ? 式中, r 是P到太阳 S 的距离,? 是矢径 SP 相对于极 轴SA 的夹角(以逆时针方向为正) ,

2 2 L k GMm ? , L 是P相对于太阳的角动量,

11 3

1 2 6.67

10 m kg s G ? ? ? ? ? ? ? 为引力常量,30 1.99

10 kg M ? ? 为太阳的质量,222321EL G M m ? ? ? 为偏心率, m 和E分别为 P 的质量和机械能.假设有一颗彗星绕太阳运 动的轨道为抛物线,地球绕太阳运动的轨道可近似为圆,两轨道相交于 C、D 两点,如图所 示.已知地球轨道半径