PDF《2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案》

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

3 (5) 设A,B是可逆矩阵, 且A与B相似, 则下列结论错误的是 ( ) (A) T A 与TB相似. (B)

1 A? 与1B? 相似.. (C) T A A ? 与TBB?相似. (D)

1 A A? ? 与1BB? ? 相似. 【答案】 (C) 【解析】 A 与B相似,即存在可逆矩阵 P ,使1PAP B ? ? ,则????????????111111TTTTTTTTTTTBPAP P A P P A P P A P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即(A)是正确说法;

? ? ? ?

1 1

1 1

1 1

1 1

1 B P AP P A P P A P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,进一步有 ? ?

1 1

1 1

1 1 B B P AP P A P P A A P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即(B) (D)都是正确说法;

故选(C). (6) 设二次型

2 2

2 1

2 3

1 2

3 1

2 1

3 2

3 ( , , )

4 4

4 f x x x x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ,则123(,,

)2fxxx?在空间直 角坐标下表示的二次曲面为 ( ) (A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C) 椭球面. (D)柱面. 【答案】 (B) 【解析】二次型 ? ?

1 2

3 , , f x x x 对应的矩阵

1 2

2 2

1 2

2 2

1 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,由??? ?

2 1

2 2

2 1

2 5

1 0

2 2

1 E A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得, A 的特征值为

1 2

3 5,

1 ? ? ? ? ? ? ? ,所以经过正交变换后, ? ?

2 2

2 1

2 3

1 2

3 , ,

5 f x x x y y y ? ? ? , 于是 ? ?

1 2

3 , ,

2 f x x x ? 表示曲面

2 2

2 1

2 3

5 2 y y y ? ? ? ,是双叶双曲面.故选(B). (7) 设随机变量

2 0) X N ? ? ? ? , 记??2pPX?????,则()(A) p 随着 ? 的增加而增加. (B) p 随着? 的增加而增加.

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

4 (C) p 随着 ? 的增加而减少. (D) p 随着? 的增加而减少. 【答案】B 【解析】

2 2 P X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于正态分布的分布函数是单调递增的,所以

2 { } P X ? ? ? ? 随着? 的增加而增加. (8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果

1 2

3 , , , A A A 且三种结果发生的概率均为

1 3 ,将试验 E 独 立重复做

2 次, X 表示

2 次试验中结果

1 A 发生的次数,Y 表示

2 次试验中结果

2 A 发生的次数, 则X与Y 的相关系数为 ( ) (A)

1 2 ? (B)

1 3 ? (C)

1 3 (D)

1 2 【答案】(A) 【解析】方法一: ( , ) X Y 的概率分布为 X Y

0 1

2 0

1 9

2 9

1 9

1 2

9 2

9 0

2 1

9 0

0 2 ( ) ( )

3 E X E Y ? ? ,

2 ( )

9 E XY ? ,所以

2

9 Cov X Y E XY E X E Y ? ? ? ?

2 2

8 ( ) ( )

9 E X E Y ? ? ,

4 ( ) ( )

9 D X D Y ? ? 所以相关系数 ( , )

1 2 ( ) ( ) XY Cov X Y D X D Y ? ? ? ? ? .

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

5 方法二: 设Z表示

2 次试验中结果

3 A 发生的次数,则2XYZ???.根据方差的性质有 =

2 2 D Y D X Z D X Z D X D Z Cov X Z ? ? ? ? ? ? ? 注意 到=DYDXDZCov X Z Cov X Y ? ? 从而 =

2 D X Cov X Y ? 所以根据相关 系数的定义有

1 =

2 XY Cov X Y Cov X Y D X D Y D X D X ? ? ? ? ? .

二、填空题:9 ?

14 小题,每小题

4 分,共24 分.请将答案写在答题纸 ... 指定位置上. (9) ? ?

0 2

0 ln

1 sin lim _____.

1 cos x x t t t dt x ? ? ? ? ? 【答案】

2 1 【解析】 ? ? ? ? ?

2 0

0 cos

1 ) sin

1 ln( lim x dt t t t x x

4 0

0 2

1 ) sin

1 ln( lim x dt t t t x x ? ? ?

3 0

2 ) sin

1 ln( lim x x x x x ? ? ?

2 1

2 sin lim

2 0 ? ? ? x x x x . (10)向量场 ? ? ? ? , , A x y z x y z xy z ? ? ? ? ? i j k 的旋度 _____. rot ? A 【答案】 )

1 ,