PDF《习题一 （A）》

习题一 (A) 1.

计算下列二阶行列式: .解:1)= (-3)*5-(-1)*2=-13 2)= log log

1 0 b a a b ? ? = 3)=

2 2 ( )( ) x x y x y y ? + ? = 4)=(t+1)(t2 -t+1)-1=t3 .2.解:1) =1*0*(-2)+1*1*(-1)+(-1)*1*1-(-1)*0*(-1)-1*1*1-(-2)*1*1=-1 2) =1*15*(-2)+2*16*3+(-1)*(-1)*1-(-1)*15*3-16*1*1-(-2)*2*(-1)=92 3) =

2 ( )

3 0

0 0

0 b c ac a b c abc 4) =

2 2

2 2

2 2

1 1 abc abc b a c a b c 解:1) (2143)

21 12

43 34 ( 1)

1 D a a a a Γ = ? = 2) (2143)

14 23

32 41

1 2

3 4 ( 1) D a a a a a a a a Γ = ? = 6.利用行列式性质计算下列行列式: 解:1) =

3 1

2 0

1 0

3 4

3 0

4 5

2 2

3 1

2 1 ? ?

5 ? 2) =

1 0

1 0

0 0

0 2

6 0

2 1

0 0

3 0

2 = ? ? 3) =

1 0

0 0

1 0

0 0

1 1

1 3

1 1

0 0

10 10

160 1

2 2

2 1

2 4

4 1

1 1

1 1

1 0

4 ? = = ? ? ? 4) =

0 1

0 0

0 1

0 0

1 1

3 8

1 0

0 0

85 5

2 10

0 5

7 25

40 1

0 1

5 1

1 4

3 = = ? ? ? ? ? ? 5) =

0 0 x x x y x x y x y x x y x y x x y y x y + + + + + =

0 0

0 0 x y x y x x y x y y y x y x y x y x ? + + ? ? ?

3 3 2( ) x y x y x y x x y x x y y = + = ? ? + ? y + 6) =

2 2

2 a b c a b c b c a b c a c a + + + + + + b =

2 2 a b c a b c a b c c b c a c a c + + + + b a b

1 1

1 ( )

2 2 a b c c b c a b c a c a ? ? + + b =

1 1 ( )

0 2

2 0

2 a b c b c a b c a c c a b ? ? + +

1 2 +

1 1

1 ( )

0 (

0 2 a b c a b c a b a c c a b ? ? + + )

2 + =

3 2( ) a b c + + 7.计算下列行列式: 解:1)

1 0

0 0

1 2

0 0 !

1 0

0 n D n n ? = = ? K K M M M O M L 2) 1°当n=2 时,

1 2 n D a a = ? 2°当n>

2 时,

1 1

1 1

1 2

2 2

2 2

2 1

2 2

1 2

0 2

1 2 n n n n n n a a a n a a n a a a n a a n D a a a n a a n + + + + + + + = + + + + + L L L L M M O M M M O M L L + = 3)

1 1

0 0

0 0

1 1

0 0

0 0

1 1

0 0

1 0

0 0

1 0

0 0

0 1

1 n D + ? ? = = ? L L L M M M O M M L L 4)

0 1

2 1

1 2

0 1

1 1

1 1

1 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0 n n n i i n n a a a D a a a a + = ? ? ? = = ? ? ? ? a a a ? ∑ L L L L M M M O M M L L 8.解方程: .解:1)

2 2 ( 9)( 1) x x ? ? =

0 或3x=±1x=±2)

2 2

2 1

1 x y z ? ? ? =

0 x y z = = = 9.用克拉默法则解下列线性方程组: 解:1)

1 2

3 4

1 1

2 4

1 2

1 4

11 4

2 3

11 2

3 4

11 11

2 4

3 11

4 3

2 11 3, ,

1 2

1 1

2 1

1 2

1 1

3 4

2 3

4 2

3 4

2 3

2 4

3 2

4 3

2 4 x x x ? ? ? ? ? ? ? ? = = = ? ? ? ? ? = ? 2)

1 2

2 5

1 1

1 5

1 1

2 1

1 1

1 1

3 1

2 1

3 1

1 2

3 1

0 3

2 2

2 3

2 2

0 2

2 2

1 4

2 0

1 4

2 2

0 4

2 D D D ? ? ? ? = = = ? ? ? ?

2 ?

3 4

2 5

1 1

2 5

1 1

1 2

1 1

1 3

4 3

2 2

0 3

2 2

1 0

1 2

1 4 D D ? ? ? ? = = ? ? ? ?

1 2

2 0

3 1

2 4

1 2

3 4 1, 0, ,

1 D D D D x x x x D D D D 10.k 取何值时,下面的方程组仅有零解? 解:1) 当32163

7 2

5 63 0,

5 2

1 3 k k ? ? 即,k时仅有零解 2) 当1111(1)( 4) 0,

1 2

1 1 k k k k k k ? 即且时4,仅有零解 (B) 1.填空题 解:1) ( ) ( 2)( 3)( 4)

0 f x x x x 2, 3,

4 x x x ∴ = = = 2) =

2 2 x y 3) -28 4)

2 n n a a ? ? 5)

2 1 !(1 ) n k k = n ? ∑ 3.证明:

3 2

2 2

2 2

2 a b c a a b b c a b a b c c c a b ? ? ? ? ( ) c . 证明: 左=

1 1

1 ( )

2 2

2 2 a b c b b c a b c c c a + + ? ? b ? ?

3 1

1 1 ( )

0 0 (

0 0 a b c b c a a b c c a b ? ? ? ) 4.证明:

1 1

1 1

1 1

1 1

1 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c + + + + + + = + + + . 解:

1 1

1 1

1 1

1 1

1 2

2 2

2 2

2 2

2 2 a b c c a b b c c a a b c c a b b c c a a b c c a b b c c a + + + + + + 左12++=11222ababcabc12c5.计算下列 n 阶行列式: .解: 1) ( 1)( 2) (( 1),( 2) 1, )

2 ( 1) ! ( 1) ! n n n n n n D n ? ? Γ ? ? = ? = ? L n 2)

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

0 2

2 2

1 1

1 2

0 0

2 2

1 1

1 1

0 0

0 1 n n n n n D n n

1 2 n ? ? L L L L L L M M M O M M M M O M L L

1 2 ( 1)

2 ( 1) n n n ? ? = ? + 3)

1 0

0 0

0 0

2 1

0 0

0 1

2 0

0 0

0 0

1 2 n D n ? ? ? = ? ? = ? ? L L L M M M O M M L

1 + 4)

1 2

3 1

3 4

1 ( 1)

1 4

5 2

1 1

1 n n n n D n + =

2 1 ? L L L M M M O M L =

1 2

3 0

1 1

1 ( 1)

0 1

1 2

0 1

1 1 n n n n n

1 ? + ? L L L M M M O L M ( 1)

1 2 ( 1) ( 1)

2 n n n n n + ? + = ? ? 6.用数学归纳法证明

2 1

1 2

1 2

2 2

2 1

2 2

1 2

2 1

2 1

1 1

1 n n n n n n n a a a a a a a a a a

2 D a a a a a a a a + + = = + + L L L M M M L + + 证明: 1°当n=2 时,

2 2

2 1

1 2

2 1

2 1

2 1

1 1 a a a D a a a a +

2 a = = + + + 2°设n=k 时,

2 2

1 1 k k D a a = + + + L 当n=k+1 时,

2 2

2 1

1 1

1 k k k k D D a a a a + + L

2 1 k+ 7.证明 n 阶行列式 2cos

1 0

0 0

1 2cos

1 0

0 0

1 2cos

0 0 sin( 1) sin

0 0

0 2cos

1 0

0 0

1 2cos n θ θ θ θ θ θ θ + = L L L M M M M M L L 证明: 1°当n=2 时,

2 2cos

1 sin3

1 2cos sin D θ θ θ θ = = 2°设n=k 时, sin( 1) sin k k D θ θ + = 当n=k+1 时,

1 sin( 2) sin( 1) cot cos( 1) sin k k k D D k k θ θ θ θ θ + + 8.试证:一元二次函数可由其图像上三个横坐标互不相等的点唯一确定. 证明:设二次函数为2yax bx c = + + , 三点为112233 x y x y x y , 且123xxx≠≠,则又2111222233ax x c y ax x c y ax x c y ? + + = ? + + = ? ? + + = ?

2 3

2 1

1 2

2 2

2 3

3 1

1 0

1 x x x x x x = 则方程组只有唯一的解 a,b,c 9.解线性方程组

2 1

1 1

2 1

3 1

2 1

1 2

2 2

3 2

2 1

1 2

3 1

1 1 n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ? ? ? ? ? ? ? ? ? L L LLLLLLLL L 其中 . (

1 2 i j a a i j i j n ≠ ≠ = , , ,,

) 解:

2 1

1 1

1 2

1 2

2 2

1 2

1 1

1 ( )

1 n n i j j i n n n n n a a a a a a D a a a a a ? ? ≤ ≤ ≤ ? = = ∏ L L M M M O M L ?

1 2

3 ,

0 n D D D x D L

1 1

2 3 1,

0 n D x x x x D L 10.若齐次线性方程且

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

0 2

0 3

0 0 x x x ax x x x x x x x x x x ax bx + + + = ? ? + + + = ? ? + ? + = ? ? 有非零解,则a、b 应满足什么条件? 解:当11112110113111aab=?即2(1)

4 a b + = 时,方程组有非零解. 习题二 (A) 4. 解: 1)

58 27

15 4

72 20

18 5

65 25

14 3 A ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?

63 25

13 5

90 30

20 7

80 28

18 5 B ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 2)

121 52

28 9

162 60

38 12

145 53

32 8 A B ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? 上式表明: 三个在

2003 年,2004 年生产

1 2

3 , , A A A

1 2

3 4 , , , B B B B 四种油品的总产量.

5 2

2 18

0 2

2 15

3 4

2 B A ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?

1 上式表明: 三厂在

2004 年生产的

1 2

3 , , A A A

1 2

3 4 , , , B B B B 四种与

2003 年相比的增加量. 3)

121 9

26 14

2 2

1 ( )

81 30

19 6

2 145

53 16

4 2

2 A B ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? 上式表明 三厂在

2003 年、2004 年生产

1 2

3 , , A A A

1 2

3 4 , , , B B B B 四种油品的平均产量. 7.求所有与 A 可交换的矩阵: (1) ;

(2)

1 0

1 1 A ? ? = ? ? ? ?

1 1

0 1

0 0 A

0 1

1 ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? . 解:1) 设 ,则 a b X c d ? ? = ? ? ? ? XA=AX 得a=d b =0

0 a X c a ? ? ∴ = ? ? ? ? 2) 设 ,则

1 1

1 2

2 2 a b c Y a b c a b c ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? YA 得AY =

1 2

2 0 a a b = = =

1 2 b c a = =

1 c b =

0 0

0 a b c Y a a ? ? ? ? b ∴ = ? ? ? ? ? ? 8.设矩阵 A 与B可交换.证明: (1)

2 ( )( )

2 A B A B A B (2)

2 2 ( )

2 2 A B A AB B 解:1)

2 2 ( )( ) A B A B A AB BA B A B

2 2

2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2)

2 2

2 2 ( )

2 A B A AB BA B A AB B

12 解:1) 0.2 0.35

820 655

335 2000

1000 800 0.011 0.05

82 76 33.8

1200 1300

500 0.12 0.5

840 770

346 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2)

820 655

335 1

1810 82

76 33.8

1 191.8

840 770

346 1

1956 ? ?? ? ? ?? ? = ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 总价值为 1810,总重量为 191.8,总体积为

1956 13.设A为n阵对称矩阵,k 为常数.试证 kA 仍为对称矩阵. 证明: 设 ,则

11 12

1 21

22 2

1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? L L M M O M L

11 12

1 21

22 2

1 2 ( ) n n T n n nn ka ka ka ka ka ka kA kA ka ka ka ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? L L M M O M L 则kA 为对称矩阵 14. (1)证明:对任意的 m*n 矩阵 A,AT A 和AAT 都是对称矩阵. (2)证明;

对任意的 n 阶矩阵 A,A+AT 为对称矩阵,而A-AT 为反对称矩阵. 解:1) 证明: T T T T T T A A A A A A = = Q ( ) ( ) T T T T T T AA A A AA = = , T A A AAT ∴ 都是对称矩阵 2) 为对称矩阵 T T T T T T A A A A A A A A A A T T T T T T T A A A A A A A A 则 为对称矩阵 T A A ? 15.设A、B 是同阶对称矩阵,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA. 解: ( )T T T AB AB B A AB BA AB 17.设n阶矩阵 A 可逆,且detA=a,求1det A? , det * A . 解:

1 AA E ? = Q

1 1

1 det det A A a ? = = ∴ * det AA A = ? E

1 ∴ *

1 det (det )n n A A a ? ? = = 18. 证明:

2 1 ( )( k E A E A A A ? ? + + +L )

2 1

2 ( ) k k k E A A A A A A E A E E A ? ? L L

1 2

1 K E A A A ? = + + +L 19.已知 n 阶阵 A 满足

2 3

2 A A E O ? ? = .求证:A 可逆,并求 A-1 . 解:

2 3

2 A A E ? ? =

0 2

3 2 A A E ? = (

3 )

2 A A E E A ? = ≠ 且| |

0 ∴

1 1 (

3 2 ) A A E ? = ? 20.解:1) * * det | |

0 AA AE A = ≠ 且*11()det A A A ? = 21.解:

12 11

21 21

0 1

2 2

2 1

0 0 (2 )

2 0

2 2

2 0

6 2

0 T T T E A B B A B A E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

0 21

11 21

12 14

5 5

4 7

4 4

1 2

0 4

6 2

0 0

0 2

2 4 T T T T T T E A B B B A E A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? ? ? ?

22 证明:

1 1

2 2

0 0

0 A A A A = = ? A ≠

1 1

2 1

2 1

0 0

0 0

0 0 A A E A E A ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ∴

1 2

1 1

1 0

0 A A A ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 23. 解:1)

1 3

2 1

3 2 |

2 | | | A A A A A A = =

4 6 = 2)

3 1

2 1

3 2

1 |

2 3 | |

3 | A A A A A A A ? = 24. 解:1)

1 1

1 0

0 1

2 0

0 0

0 3

5 0

0 1

2 A? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2)

1 3

0 4

5 5

2 5

2 2

2 7

3 4

1 0

0 0

2 A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 25..解:1)

11 15

1 0

4 4

1 3

4 5

1 3

4 5

1 1

3 4

1 1

2 2

7 9

0 4

1 1

0 4

1 1

0 1

4 4

3 3

9 12

0 12

3 3

0 0

0 0

0 0

0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2)

1 2

3 1

2 3

1 0

7 3

1 2

0 5

7 0

0 18

2 3

1 0

1 5

0 1

5 ? → ? ? → ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 0

0 1

0 0

0 0

1 0

1 0

0 1

0 0

0 1 ? ? ? ? ? ? → → ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3)

1 2

1 2

1 0

2 1

0 3

0 1

1 3

0 1

0 0 → ? → 4)

1 1

2 1

0 1

1 2

1 0

3 0

6 1

1 0

3 0

4 1

0 3

0 0

1 0

3 0

0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? → ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

1 0

2 0

1 0

2 0

3 3

1 0

0 0

1 0

0 1

0 0

3 1

0 0

0 1

0 0

1 0

0 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → → ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26. 解:1)

1 0

0 1

0 0

1 0

0 1

0 0

1 1

1 2

0 0

1 0

0 1

0 0

2 2

1 2

3 0

0 1

1 1

0 0

1 0

3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴

1 1

0 0

1 1

0 2

2 1

1 0

3 3 A? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27. 解:1)

1 1

4 6

3 1

1 1 ........