PDF《数学（试卷（结业模拟考试）》

2005 年全国硕士研究生入学统一考试 水木艾迪考研辅导班突破百分训练营数模

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电话:

62796032 (学研大厦 B-908)

62781785 (清华大学理科楼 1101)

1 2005 年全国硕士研究生入学统一考试 水木艾迪考研辅导班突破百分训练营 数学( )试卷(结业模拟考试) 2005-1-8 身份证号 姓名 电话 成绩 数学一答题号及分值:

1、

3、

7、

9、 15,17

20、

22、

26、

27、

28、

29、

31、32

39 12 分43

12 分45

12 分47

12 分49

10 分52

8 分54

10 分55

9 分56

9 分成绩数学二答题号及分值:

2、

6、

10、 12, 14,

16

20、

21、

22、

23、

24、25(2) ,

29、30

37 9 分38

9 分40

9 分41

10 分42

12 分45

12 分50

12 分52

13 分53

8 分成绩数学三答题号及分值:

4、

6、

11、15 、18,19 20,

21、

22、

23、 25(1) 、

28、

29、33

39 9 分40

8 分44

9 分47

8 分51

8 分52

13 分54

13 分57

13 分58

13 分成绩数学四答题号及分值:

5、8,13,15

16、18

20、

21、

22、

23、

24、

29、34,35

36 8 分44

8 分46

9 分47

9 分48

8 分52

13 分53

13 分59

13 分60

13 分成绩特别说明: (1)本套题目为争取 120-148 分成绩的能力测试,从整体上说,本套试题的难度与国家考试题 目大体相当. (2)作为练习,在模拟考试之后,可尽量多选做其他试卷的题目. 数学一可选做的题目为:36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50, 51. 数学二可选做的题目为:36,37,38,40,41,42,43,44,45,46,47,48,50,51. 数学三可选做的题目为:36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,51. 数学四可选做的题目为:36,37,38,40,41,42,43,44,45,46,47,48. 微积分:1-14,20-27,36-51. 线性代数:15―16,28―30,52―54 概率统计:17―19,31―35,55―60 微积分题目的分配如下 36(4) ,37(2) ,38(2) ,39(1,3) ,40(2,3) ,41(2) ,42(2) ,43(1) , 44(3,4) ,45(1,2) ,46(4) ,47(1,3,4) ,48(4) ,49(1) ,50(2) , 51(3) ,

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2 2005 年全国硕士研究生入学统一考试 水木艾迪考研辅导班突破百分训练营 数学( )试卷(结业模拟考试)2005-1-8 一 填空题(本题含

6 小题,每小题

4 分,满分

24 分,把答案填在题中横线上) 1. 已知

0 )

0 ( = f ,

3 )

0 ( = ′ f ,则=?→)(10)sin

2 1 ( lim x f x x . 答案:

3 2 ? e . 2.若)(x f 在),0[+∞ 上连续,且满足等式

1 2 ) (

1 ) (

0 + + = ∫ x dt t f x f x ,则=)(x f . 答案:

1 2

1 + x . (2,4) 3.由zx yz xy ez + + = 确定的隐函数 ) , ( y x f z = 存在的充分条件是 ,曲面 ) , ( y x f z = 在点 )

0 ,

1 ,

1 ( 处的为切平面方程为 , ) , ( y x f z = 在点 )

0 ,

1 ,

1 ( 处 的梯度为 . 答案: z e y x ≠ + ,切平面方程:

2 = + + z y x , ) ( j i + ? . 解: ) ( ) , , ( zx yz xy e z y x F z + + ? = ,隐函数 ) , ( y x f z = 存在的充分条件是

0 ) , , ( ≠ ? ? = y x e z y x F z z . ( )

1 )

0 ,

1 ,

1 ( )

0 ,

1 ,

1 ( ? = ? ? = z y Fx , ( )

1 )

0 ,

1 ,

1 ( )

0 ,

1 ,

1 ( ? = ? ? = z x Fy , ( )

1 )

0 ,

1 ,

1 ( )

0 ,

1 ,

1 ( ? = ? ? = y x e F z z , 切平面为:

0 )

1 ( )

1 ( = + ? + ? z y x ,即2=++zyx.梯度 )

1 ,

1 ( ) , ( )

1 ,

1 ( y x gradf gradz = ) ( ) ( ) ( )

0 ,

1 ,

1 ( )

0 ,

1 ,

1 ( j i j F F i F F j x z i x z z y z x + ? = ? ? = ? ? + ? ? = . 4.差分方程

2 6

1 2 = ? ? + + k k k x x x 的通解为 . 答案:

3 1 )

2 (

3 2

1 ? ? + = k k k C C x . 5.极限 = ? ? + ∫ ? +∞ → x x t t x dt e t e

2 1

1 ln )

1 1 ( lim .答案:0.

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3 [解] 利用函数的单调性与积分的保序性(或比较性质) ∫ ∫ ? ? + ≤ ? ? + ≤ ? ? x x x x x x t t dt e x e dt e t e

2 1

2 1

1 2 ln )

1 1 (

1 ln )

1 1 (

0 1

2 ln )

1 1 (

1 2 ln )

1 1 (

1 2

1 ? ? + = ? ? + = ? ? ∫ x x x x e x x e x dt e x x e

0 2

2 ln lim

1 2 ln )

2 1 ( lim

1 2 ln )

1 1 ( lim

2 1 = = = ? ? + +∞ → ? +∞ → ? +∞ → x x x x x x x e x x x x e x e x e x , 因此

0 1 ln )

1 1 ( lim

2 1 = ? ? + ∫ ? +∞ → x x t t x dt e t e . 6. 若()∫++?=yxuyxdu e z

2 2

2 ,则)1,0(2xyz???=.答案: ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ∫ ? + ? y x u y x du e e x x z

2 2

2 ) (

2 2

2 2

2 2 ) ( ) (

2 x y x y x u y x e e du e xe ? + ? ? + ? ? ? ? = ∫ , ( )

1 1 )

1 ,

0 (

2 2

2 2

2 ? ? ? = = ? ? ? = ? ? ? e ye e y y x z y y . 7. 微分方程

0 21

4 = ′ ? ′ ′ + ′ ′ ′ y y y 的一般解为 . 答案: x x e C e C C y

3 3

7 2

1 + + = ? . 8. 微分方程 ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ′

0 2 sin

1 π y x x y x y 的解为 . 答案: x x y cos ? = . 9.设???==?02xz2y是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面

4 = z 所围成的立体.则dv z y x ) ( ∫∫∫ ? + +

2 2 = . 答案:

3 256π .旋转成曲面方程为 z y x

2 2

2 = + ,用柱坐标表示为 z r

2 2 = . π θ π

3 256 ) ( ) ( ) (

2 0

2 2

0 4

0 2

2 2 = + = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ? ? z rdr z r d dz dv z r dv z y x 10. 函数

1 2

2 + + = ? x e x x f x ) ( 的斜渐近线为 . (2)

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4 答案:

2 2 ? = x y . (2) 11.级数 ∑ ∞ = + ?

2 3

1 1

3 ln

8 n n n n n x 的收敛域为 .答案:

2 ≤ x . (3) 12.定积分 = ∫ ? + + ?

1 2

2 ]

2 8 [ dx x x x x . 答案: )

1 2

4 (

5 2

4 9 ? ? π . ∫ ∫ ∫ ∫ ? ? ? ? ? + + ? = ? ? +

0 2

1 2

2 1

0 2

3 2

3 1

2 2 ] )

1 (

9 ] )

1 (

9 [ dx x dx x dx x dx x x x . 13.若)(x y y = 由???==tytx33sin , cos 确定,则在

4 π = t 处的切线方程是 , = =

4 2

2 π t dx y d . 答案: = x d y d t tan ? ;

切线方程

2 = + y x , = =

4 2

2 π t dx y d

12 2 csc sec

3 1

4 4 = =π t t t . 14.设A是一个装满水的半球形水池,半径为 R,若用水泵将 A 中的水全部泵出,则克服重力所 作的功为 . 解:取半球的球心为坐标原点,竖直向下的直线为 x 轴,则克服重力所做的功为 .

4 0

4 2

2 0

2 2

4 1 ]

4 1

2 1 [ ) ( R x x R xdx x R W R R π π π = ? = ? = ∫ 15.设????????????=11312221aA,其中 a 为常数,已知存在

3 阶非零矩阵 B 满足

0 = AB ,则矩阵 A 的秩 ) (A r = . 答案:2 16.设???????????=210010001A,则矩阵 ( )( )

1 *

2 ? + ? E A E A = .(其中 E 是3阶单 位矩阵) 答案: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

0 0

2 0

0 0

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5 17. 设总体 X 服从正态分布 ( ), ,

2 1 σ ? Ν 总体 Y 服从正态分布 ( ), ,

2 2 σ ? Ν 且两个总体独立. 从总 体X和Y分别抽取容量是 n1 和n2 的简单随机样本, S1

2 和S2

2 分别是它们的样本方差,则=+)(2221SSD )

1 )(

1 ( )

2 (

2 4

2 1

2 1 σ ? ? ? + n n n n 】 18.设随机变量 X 和Y 的联合分布在以点(0,1), (1,0), (-1,0)为顶点的三角形区域上 服从均匀分布, 令????≥=.,1|, |

2 ,

1 其他 若XYU则其数学期望 EU 方差 DU 答案:2/3, 5/9 . 19. 设总体 X 服从正态分布 ( ), ,

2 1 σ ? Ν 总体 Y 服从正态分布 ( ), ,

2 2 σ ? Ν 且两个总体独立. 从总 体X和Y分别抽取容量是 n1 和n2 的简单随机样本, S1

2 和S2

2 分别是它们的样本方差,则=+)(2221SSD答案: . )

1 )(

1 ( )

2 (

2 4

2 1

2 1 σ ? ? ? + n n n n

二、选择题(本题共

6 小题,每小题

4 分,满分

24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) 20.若0)(lim ) ( lim ), ,

0 [ ) (

3 = ′ ′ ′ +∞ ∈ +∞ → +∞ → x f x f C x f x x 存在, ,则(A)

0 ) ( lim ) ( lim = ′ ′ = ′ +∞ → +∞ → x f x f x x (B)

0 ) ( lim ,

0 ) ( lim ≠ ′ ′ = ′ +∞ → +∞ → x f x f x x (C)

0 ) ( lim ,

0 ) ( lim = ′ ′ ≠ ′ +∞ → +∞ → x f x f x x (D)

0 ) ( lim ,

0 ) ( lim ≠ ′ ′ ≠ ′ +∞ → +∞ → x f x f x x 解 答案;

A. (泰勒公式) 当1>

x时, )

1 , ( ), (

6 1 ) (

2 1 ) ( ) ( )

1 ( + ∈ ′ ′ ′ + ′ ′ + ′ + = + x x f x f x f x f x f ξ ξ , ) ,

1 ( ), (

6 1 ) (

2 1 ) ( ) ( )

1 ( x x f x f x f x f x f ? ∈ ′ ′ ′ ? ′ ′ + ′ ? = ? η η , 两式相减,并令 +∞ → x 得0)(lim = ′ +∞ → x f x , 两式相加,并令 +∞ → x 得0)(lim = ′ ′ +∞ → x f x . [注] 事实上,任意两点 b x a x + + , 的值在点 x 展开都能得到结论.

21 . 设(,)zhxy=由方程xyz e x y z = + + 确定,则(,)hxy在点0(0,1) P 的两个偏导数2005 年全国硕士研究生入学统一考试 水木艾迪考研辅导班突破百分训练营数模

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6 (0,1) (0,1) h h x y ? ? ? ? 和[](A) 分别等于 0和-1. (B) 分别等于

1 ? 和0. (C) 都等于

0 . (D) 都等于

1 ? . 答:D. ) ( z y x exyz + + = ,

0 0

1 z e + = ,

0 0 = z , 对x取偏导数: x x xyz z xyz yz e + = +

1 ) ( , 将)0,1,0(p代入计算得到:

1 ) ( )

1 ,

0 ( ? = = ? ? p z x h x . 22. 设)(x f 在0=x某邻域内有二阶导数,且0)0(=f,100 cos

1 ) ( lim

0 = ? ′ → x x f x ,则( ) . (A)

0 )

0 ( ≠ ′ ′ f ,且点 ))

0 ( ,

0 ( f 是曲线 ) (x f y = 的拐点 (B)

0 )

0 ( = ′ ′ f 点))

0 ( ,

0 ( f 是曲线 ) (x f y = 的拐点 (C)

0 )

0 ( = ′ f , )

0 ( f 是)(x f 的极小值 (D)

0 )

0 ( = ′ f , )

0 ( f 是)(x f 的极大值 答案:B. 23.设)(x f 在],[ba上连续,在),(ba内二阶可导,

0 ) ( ), ( ) ( >

′ = + a f b f a f 且 ,则下列命题错 误的为( ) . (A) 存在 ) , ( b a ∈ ξ ,使得

0 ) ( <

′ ′ ξ f (B) 存在 ) , (

0 b a x ∈ ,使得

0 ) (

0 = ′ x f (C) 存在 ) , (

1 b a x ∈ ,使得 ) ( ) (

1 b f x f >

(D) 存在唯一的 ) , (

0 b a x ∈ ,使得

0 ) (

0 = ′ x f 答案:D. 解 (单调性,或微分中值定理) (A)正确(方法一 )反证法.若0)(≥′′xf对任意的 ) , ( b a x ∈ 都成立,则)(x f ′ 单增,故0)()(>

′≥′+afxf,所以 ) (x f 严格单增,这与 ) ( ) ( b f a f = 矛盾.从而存在 ) , ( b a ∈ ξ ,使得

0 ) ( <

′ ′ ξ f . (方法二) 因为

0 ) ( >

′ + a f ,所以存在 ) , ( b a c ∈ ,使得 ) ( ) ( ) ( b f a f c f = >

.

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7 根据微分中值定理,存在 ) , (

1 c a x ∈ , ) , (

2 b c x ∈ ,使得

0 ) ( ) ( ) ( ,

0 ) ( ) ( ) (

2 1 <

? ? = ′ >

? ? = ′ c b c f b f x f a c a f c f x f , 从而存在 ) , ( ) , (

2 1 b a x x ? ∈ ξ ,使得

0 ) ( ) ( ) (

1 2

1 2 <

? ′ ? ′ = ′ ′ x x x f x f f ξ .(A)正确. 且存在 ) , ( ) , (

2 1

0 b a x x x ? ∈ ,使得

0 ) (

0 = ′ x f .因此(B)正确. (C)正确是因为

0 ) ( ) ( lim ) (

0 >

= ? ? = ′ → + A a x a f x f a f x x ,由极限的保序性,存在

0 >

δ , 对任意的 ( ) δ + ∈

0 0 , x x x 有()0)()(>

?=?axAafxf,即存在 ) , (

1 b a x ∈ ,使得 ) ( ) ( ) (

1 b f a f x f = >

. 注意:函数在一点导数的正负号不能得出 ( )

0 0 , x x δ ? 或()δ+00,xx内的增减性结论,只能得出函数值的局部比较性质! 24.设,)()(dx x f x x x f ∫ ? + + =

1 0

2 2

1 1

1 则=∫dx x f ) (

1 0 ( ). (A) π π +........