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2000 年, Heittokangas [6] 研究了二阶复线性微分方程解的增长性, 其结果陈述如下: 定理 A 假设 A0(z), A1(z) 是?上解析函数. 如果系数函数满足下列条件之一: (i) ρ(A1) <

ρ(A0);

(ii) A0(z) 是可允许的同时 A1(z) 是不可允许的, 则微分方程 f + A1(z)f + A0(z)f =

0 (1.2) 的所有非平凡解都是无穷级.

2002 年, 陈[10] 将定理 A 推广到高阶情形, 获得了如下的结果: 定理 B 假设 A0(z), A1(z)Ak(z) 是?上解析函数. 如果系数函数满足下列条件之 一: No.

6 龙见仁: 高阶复线性微分方程解的角域增长性

1535 (i) max 1≤j≤k ρ(Aj) <

ρ(A0);

(ii) A0(z) 是可允许的同时 Aj(z) 是不可允许的, 其中 j = 1, 2,k, 则微分方程 (1.1) 的所有非平凡解都是无穷级.

1994 年, 伍[11] 讨论了方程 (1.2) 的解在角域上的增长性质, 其方法主要是利用角域 Nevanlinna 理论 (参看文 [12] 第

1、

3 章), 其结果陈述如下: 定理 C 假设 A0(z), A1(z) 是?(α, β) = {z : α ≤ arg z ≤ β} 上解析函数, 其中

0 <

β ? α <

2π. 如果对任意常数 l >

0, 下面 θ 的集合 θ : α <

θ <

β, lim inf r→∞ (|A1(reiθ )| + 1)rl |A0(reiθ)| =

0 的Lebesgue 线性测度大于 0, 则微分方程 (1.2) 的所有非平凡解 f 满足 α,β(f) = ∞. 定理 C 中α,β(f) 被如下定义: 假设 f 是?(α, β) 上解析函数, 则α,β(f) = lim sup r→∞ log+ log+ M(r, ?(α, β), f) log r , 其中 M(r, ?(α, β), f) = max |z|=r α≤θ≤β |f(reiθ )|.

2009 年徐和仪在文 [13, 定理 1] 中将定理 C 推广到了高阶情形. 定理 C 及文 [13, 定理 1] 都展现了当系数函数满足某一条件时复微分方程的解在角域上具有快速增长性. 本文我们 将继续讨论这个课题, 即讨论方程的解在角域上的增长性. 为了陈述我们的结果, 需要回顾一 些记号及定义. 假设

0 <

β ? α <

2π, r >

0, 对任意给定的 ε ∈ (0, β?α

2 ), 令?(α, β) = {z : α <

arg z <

β}, ?ε = {z : α + ε <

arg z <

β ? ε}, ?(r) = ?(α, β) ∩ {z :

0 <

|z| <

r}, 使用 F 表示 F ? C 的闭集. 为了刻画 ?(α, β) 上亚纯函数的增长快慢, 我们回顾角域上的 Ahlfors-Shimizu 特征 (参看文 [3]). 在下面的表述中, 为了简洁, 我们用 ? 表示 ?(α, β). 假设 f 在?上亚纯, 定义 S(r, ?, f) =

1 π ?(r) |f (z)|

1 + |f(z)|2

2 dσ 及T0(r, ?, f) = r

0 S(t, ?, f) t dt, 其中面积元素 dσ = rdrdθ, z = reiθ . 用ρ?(f) 表示 ? 内亚纯函数 f 的增长级, 其定义为 ρ?(f) = lim sup r→∞ log+ T0(r, ?, f) log r . 对于 ? 内快速增长的亚纯函数, 类似于单位圆的情形, 使用 ? 内迭代 n 级去刻画他们的增长 快慢, 其定义为 ρn,?(f) = lim sup r→∞ log+ n T0(r, ?, f) log r .

1536 数学杂志Vol.

35 类似于复平面及单位圆, 我们称 ρ2,?(f) 为f在?上的超级. 注 因为 T0(r, C, f) = T(r, f) + O(1) (参看文 [12, p. 20]), 所以 ρ?(f) 及ρn,?(f) 的定义 是合理的. 利用类似于文 [14] 的方法, 我们获得了下面的结果. 定理

1 假设 A0(z), A1(z)Ak(z) 在?(α, β) = {z : α <

arg z <

β} 内解析, 其中

0 <

β ? α <

2π. 如果 max 1≤j≤k {ρ?(Aj)} <

ρ?ε (A0) ? ω, 其中 ω = π β?α 及?ε = {z : α + ε <

arg z <

β ? ε}, ε ∈ (0, β?α

2 ), 则方程 (1.1) 的每一个非平凡解 f 满足 ρ2,?(f) ≥ ρ?ε (A0) ? ω. 从定理

1 知方程 (1.1) 的每一个非平凡解都是无穷级, 且得到了解的超级的下界估计. 在定理