PPT《二项式定理》

二项式定理 莆田第二中学高二1班 治学品质 杨辉出游,遇童阻道,使人问之,乃知其遇难而不得解,辉奇之,细问.

小童乃东村破烂王之子,家境贫寒,无上学之资,虽则聪慧终未能入室听诲,唯偷听于墙角.师每出题,童必求当日解决,不留问题到天明.然此日师出一题,小童深感棘手,于是忘情之处于道中演练,为防异处而忘,故坚不让道.辉愈奇,问其题,乃《大戴礼》书中所载之九宫图:1-9个数字,放在3*3的表格中,要求横竖斜之和相等.辉趣之,与童共演之,时至正午方毕. 辉感其童向学之心,亦惑其师.翌日,资童拜其师,与其师共餐一顿,相谈甚欢.归,虑思良久,终想出一般方法,并推广至16宫,并N宫图,易数图、衍数图等.后杨辉把这些图总称为纵横图,收于数学著作《续古摘奇算法》中,流传于世.在现代组合学,计算机科学中有着重要应用. 伟大的数学家 杨辉,字谦光,钱塘(今杭州)人,中国古代数学家和数学教育家.由现存文献可推知,杨辉担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带,他署名的数学书共五种二十一卷.他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家.与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家.

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一、研究(a+b)n的展开式 1.在n=1,2,3,4时,研究(a+b)n的展开式.(a+b)1 = a+b(a+b)2 = a2+2ab+b2(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=?2.规律: (1)展开式各项次数有什么特点?(2)展开式各项系数有什么特点? n次齐次式a降次,b升次 (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 如何求(a+b)n的展开式 (a+b)2 = ( a + b ) ( a + b ) =a2+2ab+b2 (a+b)3=( a+b )( a+b )( a+b ) =a3+3a2b+3ab2+b3 共有四项 a3 : a2b: 同理,ab2 有个;

b3 有个;

每个括号都不取b的情况有一种,即种, 相当于有一个括号中取b的情况有 种, 所以a2b的系数是 所以a3的系数是 共有三项 ) b a )( b a )( b a )( b a ( ) b a (

4 + + + + = +

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3 4 b ab b a b a a () () () () () + + + + =

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4 b C ab C b a C b a C a C ) b a ( + + + + = + 如何求(a+b)n的展开式 4.一般地,(a+b)n=? 3. 二项式定理 (1)每一项的系数 (k=0,1,2,…,n)叫做该项的二项式系数 (2) 叫做二项展开式的通项, 表示第k+1项,记作Tk+1 (a+b)n的二项展开式,共有n+1项(3)若取a=1,b=x则得一个重要公式: 5.通项公式 式中的 叫做二项展开式的通项,用 表示.即 注意: (1)表示第r+1项;

2)通项公式中的a与b的位置不能换.3)要得到 即在(a+b)n中,有r个因式取b,余下n-r个因式取a. 第项

1、二项式系数规律

2、指数规律 (1)各项的次数均为n;

(2)字母 a 的次数由n降到0,字母 b 的次数由0升到n.

3、项数规律 二项展开式共有n+1项

4、通项公式 二项式定理规律 二项式定理

二、 杨辉三角形 与二项式系数的性质 杨辉三角形 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 由杨辉三角形研究二项式系数的性质 定义域{0,1,2, … ,n} 当n= 6时,其图象是7个孤立点

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6 3 r f ( r ) 问题:观察杨辉三角形,你能发现二项式系数的哪些性质? 二项式系数的性质 1.对称性:在二项展开式中,与首末两端 等距离 的两项的二项式系数相等. 图象的对称轴: 在相邻的两行中,除1外的每一个数都等于它 肩上 两个数的和. 二项式系数的性质 2.增减性与最大值: 二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值. 当n是偶数时,中间的一项 取得最大值 ;