PDF《山东经济发展监控系统及其应用 ①》

图GG.

jpg 山东经济发展监控系统及其应用① 刘家壮1 何光一2 赵炳新3 崔玉泉1 (1. 山东大学数学院;

2.山东省统计局;

3. 山东大学管理学院 )

1 引言如何优化产业结构和投资结构, 实现经济的最优增长是各级政府关心的核心问题, 也 是经济学研究的一个主要课题.许多经济学家在这一领域进行了许多有益的探索, 其中 最为经典的是 P. A . Sa m uelson 等人于1958 年提出的 大道定理 (Turnpike Theore m ). 大道定理 解决了计划期末以资本存量最大化为目标的经济增长问题, 当计划期相当长 时, 此问题的最优解的轨迹收敛于诺依曼均衡解.此后, 许多经济学家从不同角度证明了 大道定理 .但是 大道定理 给出的是经济最优增长轨道的理论存在性, 这与其在实际 中的真正实现还有一定距离.一方面是不同结构的经济系统 大道定理 是否适用, 如果 不适用, 怎样进行调整;

另一方面, 当最优增长轨道确定以后, 如何把其转化为实际经济中 各个要素的指标.这个问题在计划经济中是很容易解决的, 只要政府直接通过指令性计 划安排企业生产就可以了.但在市场经济中, 由于政府、 企业、 消费者的行为都是市场进 行调节的, 因此就必须考虑如何通过市场调节政府、 企业 、 消费者的决策行为, 从而实现 整个经济系统的最优增长.所以, 我们现在面临的问题是, 如何针对社会主义市场经济的 特征, 实现其均衡的最优增长.这个问题又包含两方面: 一是怎样确定最优增长轨道;

二 是如何调控经济系统使其始终运行在最优增长轨道上.

2 经济意义与理论创新 经济增长理论是当代经济学一个重要分支,

1938 年冯. 诺依曼 (Von Neu m an)首次对 以不变速度增长同时仍处于一般经济均衡状态的经济系统进行了研究.1936 年列昂节 夫(Wassily Leontief) 创立了 投入产出法 用以反映经济系统各部门之间的相互依赖关 系.八十年代初, 华罗庚教授提出了 正特征矢量法 , 他证明了: 对于没有技术进步和消 费的封闭动态投入产出模型, 初始投入必须是直接消耗系数矩阵的正特征矢量, 否则若干 年后经济系统将失去平衡.然而实际的经济系统总是存在技术进步和消费, 技术进步和 消费已经成为推动经济增长的重要力量. ① 本文为山东省重点课题 《山东省经济发展监控系统 》 的主题报告之一.该课题获1999 年度山东省科学技术进步3 等奖.先后参加课题研究的人员还有胡发胜博士、 王剑敏博士、 马建华博士、 宿洁博士生和孟庆春博士生.课题 详细内容可阅 《中国运筹学会第六届学术交流会论文集 》 (上卷 ) 和 《西部大开发科教先行与可持续发展 》 一书.

66 下面我们从三个方面对 正特征矢量法 进行了推广: (1) 给出了四类有消费的动态投 入产出模型, 研究了 正特征矢量法 在这些模型中成立的条件. (2) 讨论了技术进步对经 济增长、 正特征矢量法和完全消耗系数的影响. (3)利用 正特征矢量法 对山东省 七五 、 八五 时期的经济状况进行了分析. 假设经济系统划分为 n 个产品部门, A = (aij ) n *n 表示系统的直接消耗系数矩阵 , N 维向量 X (t)、 Y (t)、 C (t) 表示经济系统第 t 年的产出、 投入和消费, t ∈T = {1 ,

2 , …… }. 为此, 我们得到下述四类有消费的模型: 模型Ⅰ C (t)=α [ X (t) -Y (t -1) ] Y (t) =X (t)-C (t) α ∈ [0 , 1), t T AX (t)=Y (t - 1) { 模型Ⅱ Y (t) =α t [ X (t)-Y (t -1) ] C (t)=X (t)-Y (t) α ∈ [0 , 1), t T AX (t)=Y (t - 1) { 模型Ⅲ Y (t) =diag (α

1 , α

2 , ……, α n) [ X (t)-Y (t - 1) ] C (t)=X (t)-Y (t) AX (t)=Y (t - 1) α i ∈ [0 , 1), i =1 ,

2 , ……n t T { 模型Ⅳ C (t)=diag (α

1 , α

2 , ……, α n) [ X (t) - Y (t -1) ] Y (t) =X (t)-C (t) AX (t)=Y (t - 1) α i ∈ [0 ,

1 ], i =1 ,

2 , ……n t T { 我们证明了以下结论: 对模型Ⅰ, 当A是本原矩阵, 且0Fα1 , 表明该产业的影响力高于平均水平;

如果 m j

1 , 则说明i 地区j 产业 (部门)具有 显示 比较优势, 如果 RCA ij

2 , 式(1)通常为矛盾方程 组. 目前求解 (1)的方法常为: 由(1)确定出2 n 个方程, 并据此解出 ri 和si . 但有 n

2 -2 n 个方程式的信息没有用上, B 的大多数元素与 RAS 的元素有差异, 甚至差异明显. 本文从优化模型的角度出发, 探讨 R 与S阵的求法.

三、 求R和S 的优化模型 方程组 (1)用的信息仅为直接消耗系数阵本身所提供的, 投入产出的其它信息则没 有用上. 现在充分利用投入产出表信息, 设法构造一个体现 RAS 与B 逼近程度的函数, 建 立优化模型. 把RAS 看作是对实际的 B 的逼近, 构造差矩阵: ⑽A = B - RAS 引入矩阵范数度量B与RAS 差别的大小. 采用F范数‖⑽A ‖ = ∑ n i=

1 ∑ n j=

1 (bij -ri aij sj )

2 由第 T 年的投入产出行模型和列模型得: ∑ n j=

1 riaij sjX j + Y j = X i , i =1 , …, n

1 - ∑ n i=

1 ri aij sj ( )X j = N j , j =1 , …, n (2) 其中, X i 为各部门产出, Y i 为各部门最终使用, N j 为各部门最初投入 思路 (1) : 以‖⑽A ‖ 为目标函数, (2)式为约束条件, 建立优化模型: min ‖A ‖ = ∑ n i=

1 ∑ n j=

1 (bij -ri aij sj )

2 s. t. ∑ n j =

1 ri aij sjX j + Y i +η - i -η + i = X i , i =1 , …, n

1 - ∑ n i=

1 ri aij sj ( )X j +η - j -η + j = N j , j =1 , …, n ri >

0 , si >

0 , η E

0 , i =1 , …, n { (3) 思路 (2) : 在实际经济运行中, 投入产出行模型并不是严格等式, 而往往为: ∑ n j=

1 riaij sjX j + Y i F X i , i =1 , …, n 因此, 优化模型 (3)可改写为: min ‖A ‖ = ∑ n i=

1 ∑ n j=

1 (bij -riaij sj )

2 s. t.∑ n j=

1 ri aij sjX j + Y i F X i , i =1 , …, n

1 - ∑ n i=

1 ri aij sj ( )X j = N j , j =1 , …, n ri >

0 , si >

0 , i =1 , …, n { (4)

100 上面建立了求解 R 和S 的优化模型.

四、 以优化模型为基础的 RAS 算法 STEP1 取得基础数据. 选取某地或某部门第 T - N 期及第T 期的投入产出表, 设其直 接消耗系数阵分别为 A 和B , 第T期各部门产出 X i , 最终使用 Y i , 最初投入 N i ;

STEP2 确定 R 阵和 S 阵(1)建立优化模型 (3)或(4) ;

(2)求解优化模型 (3)或(4) , 得到 R 阵和S 阵;

STEP3 用R阵和S 阵计算第 T + K 期的直接消耗系数阵 A T +K (1)计算 R′= N R , S′= N S ;

(2)计算 A T +K = R′ BS′ , 结束. 其中STEP2 中优化模型的求解方法可以采用SU M T 外点法 (惩罚函数法) [

3 ] , 乘子法 或极大熵方法 [

6 ] . SU M T 外点法的基本思想是把约束优化问题转化为求解一系列无约束 优化问题. 对于问题 min f (x) s. t. gi (x) E

0 , i =1 , …, m hj (x)=0 , j =1 , …, l { 构造罚函数: F ( X , σ ) = f (x) + σ P ( X), 其中P(X) = ∑ m i=

1 φ (gi (x) ) + ∑ l j=

1 Ψ (hj (x) ), φ= [m ax {0 , -gi (x) } ]2 , Ψ=|hj (x) |

2 , σ是足够大的正数. SU M T 外点 法的计算步骤如下: STEP1 选取初始点 x( 0) , 初始罚因子 σ

1 , 放大系数 C E

2 , 允许误差ε>

0 , 置K=1 ;

STEP2 以x(k- 1) 为初始点, 求解无约束问题 min f (x)+σ kP (x) 设所得极小点为 x k ;

STEP3 若σkP (x(k) )<

ε则停止计算, 以点 x(k) 作为原问题最优解;

否则, 令σk+

1 = Cσ k , 置K=K+1 , 转STEP........