PDF《第4章习题及解答》

39 4-4 设系统的开环传递函数为 )

8 4 )(

1 ( )

10 ( ) (

2 + + + + = s s s s K s G g 试分别绘制负反馈系统和正反馈系统的根轨迹图. 题解: (1)负反馈

1、起点:Sstart= -2+2i, -2-2i, -1,终点:S∞= -10, ∞, ∞.

2、实轴根轨迹:[-1 -10].

3、分离点:s1= -14.2715 ,不在根轨迹上,不是分离点(正反馈根轨迹的会合点) s2= -1.6143 - 1.1481i s3= -1.6143 + 1.1481I 均不是重根点 所以,负反馈根轨迹无分离点.

4、渐近线: 夹角 ο ο

90 2

180 ± = ± = θ 交点

5 .

2 2

10 )]

2 2 ( )

2 2 (

1 [ = ? ? + + + ? = ? j j σ

5、虚轴交点: 将ωjs=代入特征方程 ,得到

0 )

10 8 ( )

12 (

5 2

3 = + + + + + g g K s K s s

4 .

10 733 .

4 = ± = g K j ω

6、出射角: 由幅角条件有 )

1 2 (

180 ]

8 4 arg[ ]

1 arg[ ]

10 arg[

2 2

2 + ± = + + ? + ? + + ? = k s s s s j s ο ο ο ο μ

53 .

12 90 ]

1 arg[ ]

10 arg[ )

1 2 (

180 2

2 ? = ? + ? + + + = + ? = j s s s s k i ? 作根轨迹如图所示. (2)正反馈 由于正反馈根轨迹与负反馈根轨迹在 s 平面上是互补的, 许多计算可以由互补特性 计算得出.

1、起点:与负反馈相同. Sstart= -2+2i, -2-2i, -1,终点:S∞= -10, ∞, ∞.

2、实轴根轨迹:实轴段互补, (-∞ -10],[-1,+∞).

3、分离点:s1= -14.2715 ,在根轨迹上,是会合点.

4、渐近线:不用计算.

5、虚轴交点: 将ωjs=代入特征方程 ,得到

0 )

10 8 ( )

12 (

5 2

3 = + + + + + g g K s K s s

8 .

0 0 ? = = g K ω

6、出射角:由互补特性得到 ο ο

47 .

167 180 = + = i i s s ? Φ

40 根据互补特性将正反馈根轨迹作出. 由MATLAB 作图工具作根轨迹图如图所示 -20

0 20 -20 -10

0 10

20 -20

0 20 -20 -10

0 10

20 (a)负反馈 (b)正反馈 MATLAB 语言程序 (a)负反馈 (b)正反馈 num=[1 10];

num=[-1 -10];

den=[1

5 12 8];

den=[1

5 12 8];

rlocus(num,den);

rlocus(num,den);

解毕. -10

0 10 -10 -5

0 5

10 4-5 设非最小相位系统的开环传递函数为 ) )

5 s s

2 .

0 1 ( .

0 1 ( ) ( s K s Go + ? = 试绘制该系统的根轨迹. 题解: 该系统是非最小相位的, 因此需要绘制正反馈 的根轨迹.将开环传递函数写为 )

5 ( )

2 ( )

5 (

2 .

0 )

2 (

5 .

0 ) ( + ? = + ? ? = s s s K s s s K s G z o K Kz

5 .

2 ? =

1、起点:[0,-5],终点:[+2,∞]

2、实轴根轨迹:实轴段与负反馈根轨迹互补,[-5 ,0],[+2,+∞).

3、分离点:s1= 5.74 不在根轨迹上舍去,s2= -1.74 是分离点.

4、渐近线:实轴,不用计算.

5、虚轴交点:将ωjs=代入特征方程 ,解出

0 2 )

5 (

2 = ? + + g g K s K s w = [ -5] [ -5] [ 0] k = [ 10^(1/2)] [ -10^(1/2)] [ 0] 根轨迹是个圆,根据上述计算作根轨迹如图所示. MATLAB 程序 num=[-0.5 1];

den=[0.2

1 0];

rlocus(num,den);

根轨迹图如图所示.

41 解毕. 4-6 延迟系统的开环传递函数为 (1) )

1 ( ) (

1 = = ? τ τs Ke s G (2) )

2 ,

5 .

0 ( ) ( ) (

2 = = + = ? p p s s Ke s G s τ τ 试绘制该系统的根轨迹. 题解: (1) )

1 ( ) (

1 = = ? τ τs Ke s G 此题可以直接由闭环特征方程解出. 闭环特征方程为

0 1 = + ?s Ke 由1?=?s Ke -10

0 10 -4 -2

0 2

4 k=[1,+inf) k=(0,1] 幅角条件为 )

1 2 ( + ± = k ω π 特征根的虚部为恒值. 幅值条件为

1 = ?s Ke 特征根的实部为 K 的函数, 根轨迹为直线如图所示. (2) )

2 ,

5 .

0 ( ) ( ) (