PDF《数学杂志》

Vol.

36 (

2016 ) No.

2 数学杂志J. of Math. (PRC) Suzuki 群Sz(q) 和线性空间的自同构群 李上钊 (常熟理工学院数学与统计学院, 江苏 常熟 215500) (苏州大学数学科学学院, 江苏 苏州 215006) 摘要: 本文研究了线性空间的几乎单的线传递自同构群. 利用有限线性空间上线传递自同构群 的经典结论, 以及 Suzuki 群Sz(q) 的性质, 获得了线性空间上线传递且点本原的自同构群的基柱不是 Sz(q) 的结果, 推广了关于线传递性空间的已有结果. 关键词: 线传递;

点本原;

线性空间;

基柱 MR(2010) 主题分类号: 20B25 中图分类号: O152.1 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2016)02-0298-05

1 引言 本文是群和线传递线性空间分类课题的组成部分. 有限线性空间 S 是由点集合 P 和线 集合 L 构成的关联结构, 满足任意的两点恰好在的一条线上. 通常地, 我们记 |P| = v, |L| = b, 它们分别表示 S 中v个点和 b 条线. 我们的兴趣在于自同构群 G 传递地作用在 S 的线集合上的情形. 设G是线传递地作用 在S上的自同构群, 这意味着每一条线都包含着同样数目的点 (通常记作 k 个点), 称这样的 线性空间为正则线性空间. 而且, 我们假设 S 是非退化的, 也就是说 b >

1, k >

2. 因为每条 线上都有 k 个点, 所以过每个点的线的数目都相同, 即有 r = (v ? 1)/(k ? 1) 条线. 因为 G 在线集合 L 上是传递的, 则G也是在点集合 P 上传递的, 这是 Block 定理的一个结果 [1] . 而v, b, k, r 被称为线性空间 S 的参数. 显然, 如果要研究一个作用在线性空间上的有限群的结构, 那么描述它的基柱是很重要 的一步.

1996 年Camina 在文 [2] 证明了如果 G 是线性空间 S 上线传递, 点本原的自同构 群, 那么 G 的基柱要么是初等交换群要么是单群. 随后, Camina 和Praeger 在文 [3] 中推广 了这一结果, 他们证明了如果 G 是线性空间 S 上线传递, 拟点本原的自同构群, 那么 G 是 仿射的或是几乎单的. 于是根据点集上作用性质的不同, 线性空间上线传递自同构群的研究 可约化为三种情形: G 是仿射型的, 也就是说 G 有初等交换的传递正规子群;

G 有非传递的 极小正规子群;

G 是几乎单的, 即有正规的非交换单群 T 使得 T 在G中的中心化子是平凡 的, 因此 T G ≤ Aut(T). Camina 和Spiezia [4] 证明了 T 不是零散单群.

2003 年Camina, Neumann, 和Praeger 证明了 T 不是交错群除非 G = A7 和A8 [5] . 韩广国, 在他的三篇文章 [6C8] 中考虑了 T = E6(q), E7(q) 和E8(q) 的情形. 本文考虑基柱为 Sz(q) 的几乎单群的情 形. ? 收稿日期: 2013-07-13 接收日期: 2014-01-07 基金项目:国家自然科学基金资助 (11172643;

11271208). 作者简介: 李上钊 (1982C), 男, 浙江仙居, 讲师, 主要研究方向: 有限群及代数组合. No.

2 李上钊: Suzuki 群Sz(q) 和线性空间的自同构群

299 主要定理 设G是线性空间 S 上线传递, 点本原的自同构群, k2 = (k, v ? 1), q = 2a , 其中 a = 2n + 1, n ≥

1 是正整数. 如果 q ≥ 2(k2k ? k2 + 1)a, 那么 G 的基柱不是 Sz(q). 本文将采用下列符号. 设X和Y是任意有限群, 则X・Y表示群 X 对群 Y 的一个扩 张. X : Y 和X・ Y 分别表示可裂和非可裂扩张. 而符号 X * Y 表示 X 和Y的直积. 设T是群 G 的一个子群, 则符号 |G : T| 表示子群 T 在G中的指数. 符号 [m] 表示任意 m 阶群, 而Zm 或更简单的 m 表示阶为 m 的循环群. 在本文中, 群论的其他符号是标准的. 另外 我们用 Fix?(K) 表示 Sym(?) 的子群 K 稳定 ? 中点的集合. 设n是一个正整数, 我们用 记号 pi ||n 表示 pi |n 但pi+1 n. 记号 |n|p 表示 n 的p-部分而 |n|p 表示 n 的p-部分. 也 就是说 |n|p = pt 其中 pt ||n, 而|n|p = n/|n|p. 设G是作用在线性空间 S 上的群, 那么记号 Gα 和GL 分别表示 P 中点 α 的稳定子群和 L 中线 L 的稳定子群. 记号 G(L) 表示 G 中稳 定L上所有点的元素集合. 此外记号 GL 表示 GL 在L的点上作用所诱导出的置换群, 于是 GL ? = GL/G(L). 本文第二部分介绍 Suzuki 群Sz(q) 及线性空间的有关性质及相关结论, 在第三部分我 们给出定理的证明.