PDF《西安交通大学研究生公共课最优控制 2003 年试题》

西安交通大学研究生公共课最优控制

2003 年试题 考试时间:2003 年7月1日2:30-5:00 考试地点:中2-3221

一、(20 分) 泛函 J[y(x)]的变分可定义为 ( ) ( ) [ ]

0 = + = β β βδ δ d x y x y dJ J .

1.请以这种定义,求出 ( ) ∫ =

1 0

3 dx x y J 的变分. 2.请以这种定义,证明若可微泛函 J[y(x)]在y0(x)上达到极值,则在 y=y0(x) 上有 δJ =

0

二、(15 分) 已知一阶系统 u x = & ,求u(t)使系统由 x (0) =

1 转移到 x (tf) = 0,tf 未定,且使 目标泛函 ∫ + = f t f dt u t J

0 2

2 1 为最小,并求出最优轨线 x(t)和tf.

三、(15 分) 已知被控系统

2 1 x x = & , u x =

2 & 和目标集 ( ) { } +∞ < < ?∞ = =

2 1

2 1 ,

0 : , x x x x M 试借助相平面分析满足约束条件|u(t)|≤1 的最小时间控制率 u(x).并求最短时间.

四、 (15 分) 求出图中从第

0 层到达 第3层的最小费用,并找出 最小费用路径, 其中各起点、 终点的费用以及每段路径的 费用如图所示.注意只允许 向右侧移动.最小费用路径 可能有多条,如是则找出每 一条.

3 5

2 4

5 4

6 2

3 6

4 3

3 5

2 5

4 4

0 1

2 3

2 5

4 4

2 4

1 4

4 3

3 3

6 5

4 5

6 2

3 5 层→

五、 (18 分) 给定一阶系统 u x x + = & ,x(t0)=x0,性能指标为 ( ) ∫ ∞ + =

0 2

2 2

1 t dt u x J ρ ,试求ρ满 足什么条件时最优反馈控制存在,并求 u*(x)及J*[ x(t0),t0].

六、 (17 分) *本题中"Use the maximum principle to show that…"是指应用广义的极大值原理来证明. 这里广义最大值原理包括书中描述的控制有界时的情形, 也包括

第二章所讨论的控制可以任 意取的情形,在许多参考书中将这两种情形都归入极大值原理. 考查的同学第

五、六两题可选做一题.