PDF《2019 北京石景山区高三一模 数学（理）》

13 分) 若项数为 的单调递增数列 满足: ① ;

②对任意 ( , ),存在 ( , )使得 ,则称数列 具有性质 . (Ⅰ)分别判断数列 和 是否具有性质 ,并说明理由;

(Ⅱ)若数列 具有性质 ,且,()证明数列 的项数 ;

()求数列 中所有项的和的最小值.

5 /

12 数学试题答案

一、选择题:本大题共

8 个小题,每小题

5 分,共40 分. 题号

1 2

3 4

5 6

7 8 答案 C B B A D C A C

二、填空题:本大题共

6 个小题,每小题

5 分,共30 分. 9. ;

10. ;

11.相交;

12. 或或;

13. ;

14. , .

三、解答题:本大题共

6 个小题,共80 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题

13 分) 解:(Ⅰ)在中, , ∴ , ∵ , , 由正弦定理 得,∴.(Ⅱ)由余弦定理 得,∴,解得 或 (舍) ∴

6 /

12 . 16.(本小题

13 分) 解:(Ⅰ)设 一次从纸箱中摸出两个小球,恰好摸出

2 个红球 为事件 A. 则.(Ⅱ) 可能取 0,1,2,3,4. , , , , . 所以 的分布列为

0 1

2 3

4 P (Ⅲ)75. 17.(本小题

14 分) (Ⅰ)证明:在矩形 中, ∥ , ∵ 分别为 的中点, ∴ ∥ ,且,∴∥,∵平面 , 平面 , ∴ ∥平面 . (Ⅱ)证明:在矩形 中, ,

7 /

12 ∵矩形 平面 ,且平面 平面 , ∴ 平面 , 又 平面 , ∴ , ∵ , 为 的中点, ∴ , 又,∴平面 , ∵ 平面 , ∴平面 平面 . (Ⅲ)在平面 内作 的垂线,如图建立 空间直角坐标系 , ∵ , , , ∴ , , , , , , 设,∴ , ∴ , ∴ , , 设平面 的法向量为 , ∴ 即令,则 , ∴ 是平面 的一个法向量,

8 /

12 ∵ 平面 , ∴平面 的法向量为 , ∵二面角 的大小 ∴ ,解得 , ∵ 在上,∴ . 18.(本小题

13 分) 解:(Ⅰ) , , 由题设知 ,即 ,解得 . 经验证 满足题意. (Ⅱ)方法一: 令 ,即 ,则(1)当时,即 对于任意 有,故在单调递减;

对于任意 有,故在单调递增, 因此当 时, 有最小值为 成立. (2)当时,即 对于任意 有,故在单调递减, 因为 ,所以 ,即,9/12 综上, 的最大值为 . 方法二:由题设知,当时, , (1)当时, . 设,则,故在单调递减, 因此, 的最小值大于 ,所以 . (2)当时, 成立. (3)当时, ,因为 , 所以当 时, 成立. 综上, 的最大值为 . 19.(本小题

14 分) 解:(Ⅰ)依题可知 , 因为 , 所以 故椭圆 的方程为 . (Ⅱ)以 为直径的圆与直线 相切. 证明如下:由题意可设直线 的方程为 . 则点 坐标为 , 中点 的坐标为 , 由得10 /

12 . 设点 的坐标为 ,则.所以 , . 因为点 坐标为 , ①当时,点 的坐标为 ,直线 的方程为 , 点 的坐标 为.此时以 为直径的圆 与直线 相切. ② 当时,直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 ,即.故点 到直线 的距离 (或直线 的方程为 , 故点 到直线 的距离 ) 又因为 ,故以 为直径的圆与直线 相切. 综上得,当点 运动时,以 为直径的圆与直线 相切. 解法二:

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12 (Ⅱ)以 为直径的圆与直线 相切. 证明如下: 设点 ,则①当时,点 的坐标为 ,直线 的方程为 , 点 的坐标为 , 此时以 为直径的圆 与直线 相切, ② 当 时直线 的方程为 , 点D的坐标为 , 中点 的坐标为 ,故 直线 的斜率为 , 故直线 的方程为 ,即,所以点 到直线 的距离 故以 为直径的圆与直线 相切. 综上得,当点 运动时,以 为直径的圆与直线 相切. 20.(本题

13 分) 解:(Ⅰ)因为 ,所以 不具有性质 ;

因为 , , ,所以 具有性质 . (Ⅱ) ()因为 是单调递增数列,又,所以 即,所以 , ,所以

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12 又因为 ,所以 . ()因为 所以可以构造数列 满足性质 ;