PDF《几何之美 2》

数学文化/第2卷第3期73 数学教育athematics Education 引言 按照许多数学先哲(如庞加莱,哈代和冯 ? 诺依 曼等)的观点,数学不仅是一门科学,也是一门艺术.

即数学也是一门追求独创和美的学问. 数学中确有一些艺术杰作 : 自然优美的问题,巧 夺天工的构思,荡气回肠的结局.其独创性和优美程 度绝不亚于柴科夫斯基的芭蕾舞剧或者雷诺阿的名 画,只是对大众来说更难理解和欣赏而已.在这一系 列短文中,我们将展示几何学中的几件"艺术珍品" . 对于一个数学家来说,欣赏学习他人的杰作不仅是为 了(有可能)直接用到自己的工作中去,更重要的是为了 提高修养,开阔眼界.从而使我们远离平庸,接近伟大. 本文将介绍关于立方体的闵可夫斯基猜想和 Keller 猜想.前者由闵可夫斯基(Minkowski,1864- 1909) 于1907 年提出, 于1942 年被Hajós 证明. Hajós 的证明是如此美妙,以至于被 S. K. Stein 比喻 为"就像蚕蛹变成蝴蝶的过程一样神奇" .后者由 Keller 于1930 年提出,是闵可夫斯基猜想的推广,其 高维情况于

1992 年被 Lagarias 和Shor 所否定.Keller 猜想的研究过程比 Hajós 的证明更神奇. 几何之美 宗传明 本文受到国家

973 项目 2011CB302400, 国家自然科 学基金项目

11071003 和长江学者奖励计划的资助. 作者感谢贾朝华教授和项武义教授的润色建议. 通讯地址:cmzong@math.pku.edu.cn

2 观察 假定 D 是一个单位方块,X = {x1, x2, ...} 是平面 E2 中的一个离散点集合,D + X = {D + xi : xi ∈ X } 是E2 的一个平铺 (tiling).也就是说,方块 D + xi 两两内 部互不相交且 E2 = ∪xi∈X (D + xi ).如果 x1 和x2 是X中的两个点并且 D + x1 与D+x2 有公共点,那么 (D + x1) ∩ (D + x2) 将是 D + x1 的一条边或者是一条边的一 部分.如果是后者,由于 D + X 是E2 的一个平铺,如 下图所示一定存在另一个正方形 D + x3 与D+x1 相交 于一条完整的边. D + x1 D + x2 D + x3 这样我们证明了如下结论 : 数学文化/第2卷第3期74 数学教育athematics Education 如果 K 是一个几何体,X 是一个格并且 K + X 是一个 平铺,我们就称其为一个格平铺.我们称两个立方体 为一个共面对如果它们有且仅有一个完整的公共面 , 并且定义单位立方体 Cn = {(x1, x2, ... , xn) : | xi | ≤?1/2}.

1907 年, 闵可夫斯基基于以上观察提出了如下猜想: 闵可夫斯基猜想 En 的每一个格平铺 Cn + Λ 中都有共 面对. 依照上一节的观察,这一猜想很自然,甚至还太 保守.实际上,相关的历史非常曲折复杂.也许这正 是它的美妙所在.早在

1896 年,闵可夫斯基证明了 如下结论 : 如果 A = (aij) 是一个没有整数列且行列式为

1 的实 系数

2 *

2 矩阵, 那么

11 1

21 2

12 1

22 2

1 1 a z a z a z a z + < ? ? ? + < ? ? 一定有非平凡整数解. 在此基础上,他断言类似的结论对 n * n 矩阵也是正 确的.也就是 闵可夫斯基猜想 * 如果 A = (aij) 是一个没有整数列且 行列式为

1 的实系数 n * n 矩阵, 那么

11 1

21 2

1 12

1 22

2 2

1 1

2 2

1 1

1 n n n n n n nn n a z a z a z a z a z a z a z a z a z + + + < ? ? + + + < ? ? ? ? + + + < ? ? ? ? ? 一定有非平凡整数解. 他自己没有给出这一断言的证明.11 年后,他又将这 一分析形式的猜想转述为前面所说的几何形式.下面, 我们简要说明一下它们的等价性. 首先,我们定义一个格 Λ = {zA : zi ∈ Z }.由于格 点zA 的第 i 个坐标即 xi = a1iz1 + a2iz2 + ... + anizn , Cn + Λ 是一个堆积 [ 注1] 当且仅当分析形式中的不等式 组没有非平凡的整数解.另一方面,由于 如果 D + X 构成 E2 的一个平铺,那么其中必有两 个方块具有一条完整的公共边. 在三维欧氏空间 E3 中.我们假设 C = {(x1, x2, x3) : | xi | ≤?1/2}, X 是一个离散点集合(为了叙述方便,我们假定 o∈X) ,C + X 是E3 的一个平铺.如果 C + x 碰到 C 的 一个顶点 v, 那么 v 可能是 C + x 的一个面的一个相对 内点,或者是它的一条边的一个相对内点,或者是它 的一个顶点.如果是第一种情况,通过投影来考虑 C + X 中所有含 v 的单位立方体(C + x 除外)可以证明 其中必有一个与 C 有一个完整的公共面.这样,假设 C + X 中不存在单位立方体既包含 v = (1/2, 1/2, 1/2) 又与C共面,那么其中一定存在三个立方体 C + (1, 0, t1),C + (0, t2, 1) 和C+(t3, 1, 0),其中