PDF《探索思考永无止境》

探索思考永无止境~李海儿 (蛟川书院,浙江 宁波 315200) 摘要: 文章从一道中考模拟题的常规解法出发,深入探究,不断挖掘,最终得到基本模型,从而更好地帮助学生探究 动点的运动路径,明确方向,有效节省时间,攻克中考压轴难题.

关键词: 动点;

路径;

最值 中图分类号:O123.

1 文献标识码:A 文章编号:1003 - 6407(2018)01- 0012-

02 近日,笔者在解读《浙江省宁波市2016 年初中 毕业生学业考试说明》时,遇到了一道求线段最值 的题目,许多师生都无从下手. 现将原题呈现如下: 例1如图 1,⊙O 的半径为 3,RtABC 的顶 点A,B 在⊙O 上,∠B =90° ,点C在⊙O 内,且tan A =

3 4 ,当点 A 在圆上运动时,OC 的最小值是 . 图1图2开始笔者也毫无头绪,不知该如何下手,于是 只能借助几何画板,探究到点 C 的运动轨迹是一 个圆,进而去思考为什么点 C 的运动路径是一个 圆呢? 延长AC 交⊙O 于点 D ( 如图

2 ), 发现 ∠BCD 是一个定角,联结 DB,联结 DO 并延长交 ⊙O 于点 E,联结 BE,发现 BD 的长也是一个定值, 于是想到定线定张角,得到点 C 的运动轨迹是在 过点 B,C,D 的外接圆⊙G(BCD) 上,知道运动路 径后可将求 OC 的最小值转化为求点到圆上一点 的最大值与最小值问题,接下来关键是要求出线段 OG 的长以及 ⊙G 的半径. 易得 OG ∥ EB, 从而 ∠DOG =∠DEB =∠CAB. 如果能证明 ∠ODG = 90° ,那么就能顺利求得 OG 和DG 的长了. 在⊙G 上任意取一点 H,由四点共圆可得 ∠H = ∠ACB = ∠EDB, 而∠H = ∠DGO, 从而 ∠EDB = ∠DGO. 又∠DGO + ∠BDG = 90° , 得∠EDB + ∠BDG = 90° , 即∠ODG = 90° , 于是 OG = OD cos∠DOG =

3 4

5 =

15 4 , 即DG = OD・ tan∠DOG = 3・

3 4 =

9 4 , 故OC 的最小值为 OCmin = OG - DG =

15 4 -

9 4 =

3 2 . 做完此题后笔者很是激动,这么难的一道题目 在一步步地思考中被解决. 但同时也引发了笔者深 刻的思考,求线段的最值问题是近几年宁波市中考 考纲中的重要题型之一,也是各地中考试卷中一道 亮丽的风景. 解决此类问题的关键是要结合题意, 借助相关的概念及图形的性质,将最值问题转化为 相应的数学模型,这些数学模型主要包括将最值问 题转化为点到直线的距离,利用垂线段最短解决, 还可以转化为点到圆上一点的最大值与最小值模 型解决,但是对于学生而言难度最大的是如何确定 点的运动路径,找不到运动路径根本无法谈解题策 略. 如果按照上述的解题思路来解决问题,几乎所 有的学生都做不到,也就是说这个题目的得分率将 会非常低,那么这样的题目放在考试中又有何意义 呢? 无独有偶,在中考模拟试卷中笔者又遇到了一 个类似的问题: 例2如图 3,⊙O 半径为 4,RtABC 的顶点 A,B 在⊙O 上,∠B = 90° ,AB = BC,点C在⊙O 内, 当点 A 在圆上运动时,OC 的最小值是 . ・

2 1 ・ 中学教研(数学)

2018 年第

1 期~收文日期:2017- 09- 19;

修订日期:2017- 10-

20 作者简介:李海儿(1984- ),女,浙江舟山人,中学一级教师. 研究方向:数学教育. 万方数据 图3图4图5当看到等腰 RtABC 时,顿觉惊喜,能否将线 段OC 进行转化,于是试着将OBC 绕着点 B 顺时 针旋转 90° (如图 4),得到 AD = OC,发现可以将求 OC 的最小值转化成求 AD 的最小值. 又因为点 D 在⊙O 外,点A在⊙O 上,喜出望外,可以顺利将此 题转化为求圆外一点到圆上各点连线的最小值,最 小值即为 OD - OA =