PDF《2018 考研数学真题解析-二次型》

世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址:北京市海淀区西三环北路

72 号世纪经贸大厦 B 座

电话:010 -

88820136 传真:010 -

88820119

网址:www.

wendu.com

2018 考研数学真题解析-二次型 来源:文都教育 每个考生都应该清楚线性代数中两道大题是线性方程组、 二次型和相似轮流来, 今年也 不例外.数

一、数

二、数三今年线代大题完全相同,其中第一道为线性方程组和二次型相结 合的题目,是2005 年数一第

20 题的再现,相必很多同学在复习时都已着重准备,现解析如 下. 【2005 数一第

20 题】: 【2018 数学真题】:设实二次型

2 2

2 1

2 3

1 2

3 2

3 1

3 f x x x x x x x x x ax 其中 a 是参数. (1)求123(,,

)0fxxx=的解;

(2)求123(,,

)fxxx的规范形. 【分析】第一问,本质是考查线性方程组的问题;

第二问,写出二次型矩阵,求解特征值即 可. 解析:(1)

1 2

3 1

2 3

2 3

1 3

0 ( , , )

0 0 ,

0 x x x f x x x x x x ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而11110201101110002Aaa????????????????????????由得当2a?时, ( )

3 r A ? ,只有零解

1 2

3 0. x x x ? ? ? 当2a?时, ( )

2 r A ? ,方程有无穷多解,通解为

1 2

3 2

1 1 x x x k x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 其中 k 为任意常数. (2)由(1)知, 当2a?时A可逆,令1123223313yxxxyxxyxax ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即Y AX ? ,则222123,fyyy???当2a?时, 世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址:北京市海淀区西三环北路

72 号世纪经贸大厦 B 座

电话:010 -

88820136 传真:010 -

88820119

网址:www.wendu.com 法一: ( )

2 r A ? , 令112322333yxxxyxxyx???????????,则22222121212213()2( ) ,

2 2 f y y y y y y y ? ? ? ? ? ? ? 令112223312232zyyzyzy?????????????????????,则得规范形为

2 2

1 2 f z z ? ? . 法二:

2 2

2 1

2 3

1 2

3 1

2 1

3 2

1 3 ( , , )

2 2

6 2

6 1

2 0

3 0

6 T f x x x x x x x x x x X X - ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ ÷ ? 记213120306B-÷?÷?÷?÷=-?÷?÷?÷÷?,令??0]75[18

10 6

0 3

0 2

1 3

1 2

2 2

3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B E 可得:

7 5

7 5

0 3

2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? , , ,则规范型为

2 2

1 2 f z z ? ? . 从本次考试来看,重点始终是重点,而一些低频考点也不能掉以轻心.在此希望给

2019 考生在复习过程中一点启示.最后,预祝各位考生考研成功!