PDF《2018年秋季学期 泛函分析期末考试》

2018年秋季学期 泛函分析期末考试 整理人: 章俊彦 zhangjy9610@gmail.

com 2019年1月15日08:30-10:30 主讲教师: 刘聪文、许小卫 本试卷每题10分,满分100分.

1、叙述Riesz表示定理,并举出一个应用它的例子(不需要证明) .

2、证明:一个赋范线性空间的有限维子空间一定是闭子空间.

3、设X为Banach空间,证明:X上两个闭线性算子的复合仍然是闭线性算子.

4、设X;

Y 是Banach空间,T W X ! Y 是有界线性算子,且是双射.证明:存在正常数C, 使得 对任意x

2 X成立 C

1 kxk ? kT xk ? Ckxk:

5、设X WD fx D . 1;

2;

3;

/j只有有限项 k ¤ 0g, 并赋予范数kxk WD supk j kj. 定义X上的算 子T 如下: T W . 1;

2;

3;

/ 7! . 1;

2=2;

3=3;

/: 证明T 是有界线性算子,但T

1 无界.

6、设.X;

k k/是赋范空间.证明:对任意x

2 X, kxk D supfjf .x/j W f

2 X ;

kf k D 1g:

7、设X是Banach空间,A;

B分别为X上的有界线性算子、紧线性算子.证明: .A/n. p.A/[ p.ACB// D .ACB/n. p.A/[ p.ACB//:

8、设X是无穷维赋范空间,证明X 也是无穷维的.

9、设X是Banach空间,T 是X上的线性算子.证明:T 有界,当且仅当 xn * x ) T xn * T x:

10、设X是Banach空间,f 是X上的一个线性泛函,N.f / WD fx

2 Xjf .x/ D 0g. 证明:N.f /要 么是X的闭子空间,要么是X是稠密真子空间. 1