PDF《2019 年全国卷一理科数学试题答案解析》

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2019 年全国卷一理科数学试题答案解析

一、选择题:本题共

12 小题,每小题

5 分,共60 分.

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则()A. B. C. D. 【答案】 【解析】计算得 ,画数轴可得 ,故选 【点评】本题考查集合交集的应用,结合数轴图解,属简单题 2.设复数 满足 , 在复平面内对应的点为 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】设 ,则 ,即 ,故选 【点评】本题通过复数模的运算考查数形结合,对复平面坐标有一定理解即可,属中 等题 3.已知 , , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 , , , 且,因此可得 , 选 【点评】本题考查指对数大小比较,借助单调性及常规中间值 与 即可,属简单题 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 ( ,称为黄金分割比例) ,著名的 断臂维纳斯 便是如此. 此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两 个黄金分割比例,且腿长为 ,头顶至脖子下端的长度为 ,则其身高可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为 ,肚脐至足底的长度为 ,依题意可得 解得 ,则某人的身高约为 ,故选 B. 【点评】本题重点考察了黄金分割比例的性质,属于新定义型的概念理解题,对文字 转换要求较高,难度适中. 5.函数 在 的图像大致为( ) 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 , 为奇函数,图像关于原点对称,排除 A 选项;

,故答案选 D. 【点评】本题重点考查了函数图像性质,属于基础题,难度比较小. 6.我国古代典籍《周易》用 卦 描述万物的变换,每一 重卦 由从下到上排列的 个爻组成,爻分别为阳爻 和阴爻 ,下图就是一重卦,在所有重卦中随 机取一重卦,则该重卦恰有 个阳爻的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【点评】本题重点考查了排列组合以及概率统计基础知识,难度中等. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 7. 已知非零向量 , 满足 ,且 ,则 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 , ,即,,

又 , , 为非零向量, 即,.故答案选 . 【点评】本题考查平面向量垂直的关系应用,以及平面向量数量积及其基本运算,属 于基础题. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 8.右图是求 的程序框图,图中空白框中应填入( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 输出 , 则由程序框图知, 空白框中应填入 满足要求, 故答案选 A. 【点评】本题考查程序框图的识别,属于简单题. 9.记 为等差数列的前 项和,已知 , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 ,即;

,得 , , 【点评】简单题,直接用公式即可得答案. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 10. 已知椭圆 的焦点为 , , 过 的直线与 交于 、 两点, 若,,

则 的方程为() A. B. C. D. 【答案】 【解析】设 ,由椭圆定义 , ,解得 ,所以 ,故 为短轴顶点,在与中,由得,求得 ,则 ,故选 【点评】中等题.考察了椭圆的定义以及焦半径的长度关系,在焦点三角形中表示边 长进而用余弦定理来得到相关关系,属于比较常规的考法. 11.关于函数 有下述四个结论: ① 是偶函数 ② 在区间 单调递增 ③ 在区间 有四个零点 ④ 的最大值是 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】 【解析】由函数偶函数的定义 ,可知 是偶函数,故①正确;

由 可得 ,且 是偶函数,图像关于 轴对称, 画出函数图像,由图像可知 在区间 单调递减,故②错误;

图像与 轴有 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 三个交点,故③错误;

答案选 . 【点评】本题重点考察了三角函数图像及其性质,属于难题. 12.三棱锥 的四个顶点在球 的球面上, , 是边长为 的正 三角形, 分别为 中点, ,则球 的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题可知三棱锥 为正三棱锥,则,.为 则 ,又 分别为 中点,则 从而 ,且 ,所以 面 ,从而 ,易得 ,三 棱锥可以看做正方体的一个顶点和相邻三个面的面对角线构成的,则易得外接球半径 为 ,从而体积为 【点评】本体主要考察几何体外接球问题,立体图形转换,难度较大.

二、填空题:本题共

4 小题,每小题

5 分,共20 分. 13.曲线 在点 处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【点评】本题重点考察 类型的导数求导,以及导数的切线方程,属于基础题. 14.记 为等比数列 的前 项和,若,,

则 ______. 【答案】 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 【解析】 , , 【点评】本题重点考察等比数列前 项和及等比数列的计算,属于基础题. 15.甲、乙两队进行篮球比赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜, 决赛结束) ,根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为 主主客客主客主 ,设甲队 主场获胜的概率为 , 客场取胜的概率为 , 且各场比赛结果互相独立, 则甲队以 : 获胜的概率是 ______. 【答案】 【解析】由题可知,要使甲队以 : 获胜的话共需进行五场比赛,且前四场有一场是 乙获胜,则甲队以 : 获胜的概率为 【点评】本题属难题,考点是随机事件的概率问题,与以往的考题相比,无大变化, 考生可进一步强化该知识. 16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ,过 的直线与 的 两条渐近线分别交于 、 两点.若,,

则 的离心率为______. 【答案】 【解析】因为 ,所以 为 中点, 为 中点,所以 ,所以 ,所以 为等腰三角形, 为底边中线,所 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 以 ,根据双曲线性质, ,所以 , 所以 , 点评:本题属于圆锥曲线中双曲线的渐近线与向量的相关知识结合,重点要理解向量 的基本意义,属于中等题目.

三、解答题:共70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答.第22,23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60 分. 17. (12 分) 的内角 , , 的对边分别为 , , ,设.(1)求;

(2)若 ,求 . 【答案】 (1) ;

(2) 【解析】 (1)由题意可知: , 由正弦定理 ,得,由余弦定理得: , , ;

(2)由正弦定理可知: , ,得: ,即,,

整理得: , 得: 或,则或,,

,即: ;

【点评】此题主要考查考生对正余弦定理的理解和运用,属于中等题 .第一问观察角 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 度与边的关系,运用正弦定理和余弦定理进行求解.第二问运用正弦定理和辅助角公 式解得 .此题属于解三角形中的基础题型,旨在考查考生的基础是否扎实. 18.(12 分) 如图,直四棱柱 的底面是菱形, 分别是 , , 的中点. (1)证明: 平面 ;

(2)求二面角 的正弦值. 【答案】 (1)见解析(2) 【解析】 (1)∵ , ∴ 是平行四边形 ∴ , 连接 , ,则,厦门新东方学校―高中数学个性化教研组 又∵ ........