PDF《数学杂志》

Vol.

38 (

2018 ) No.

3 数学杂志J. of Math. (PRC) 分数布朗随机流 肖艳萍

1 , 郭精军

2 (1. 西北民族大学数学与计算机科学学院, 甘肃 兰州 730000) (2. 兰州财经大学统计学院, 甘肃 兰州 730020) 摘要: 本文研究了分数布朗随机流的问题, 给出了 Wick 积分意义下的分数布朗随机流的定 义. 利用白噪声分析方法证明了该随机流是一个 Hida 广义泛函, 推广了布朗随机流的一些结果. 关键词: 分数布朗运动;

随机流;

白噪声分析 MR(2010) 主题分类号: 60H40;

60G15;

60G22 中图分类号: O211.6 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2018)03-0557-06

1 引言 近些年, 分数布朗运动因具有自相似性、长相依性等特点被广泛地应用于金融、通信等 领域, 已成为随机分析及其相关领域研究的热点问题之一. 但是, 当Hurst 参数 H =

1 2 时, 分 数布朗运动既不是半鞅, 也不是马尔科夫过程. 于是, 随机分析中一些经典的方法就不能直接 拿来处理分数布朗运动相关问题了. 流概念源于几何测度理论. 最简单的形式为如下泛函 ? → T

0 ?(γ(t)), γ(t) Rd dt, 其中 ? : Rd → Rd 和γ(t) 为可度量长度的曲线. 记上述泛函为 ξ(x) = T

0 δ(x ? γ(t))γ(t) dt. 一般来讲, 随机流定义为 ? → I(?) = T

0 ?(Xt), dXt , 其中 ? 是定义在 Rd 上属于某个 Banach 空间 V 的泛函. 学者们已研究了高斯随机流, 获得了一些结果, 例如 Flandoli 等在文 献[6] 中利用 Malliavin 计算研究了随机流的存在性和正则性. 在文献 [4] 中作者验证了随机 流的 Sobolev 正则性. 基于文献 [6, 8], 本文利用白噪声分析方法研究 Wick 积分意义下的分数布朗随机流. 行 文安排如下: 在第

2 部分中主要介绍分数布朗运动和白噪声分析框架的一些基本事实;

在第

3 部分, 先给出 Wick 型分数布朗随机流的定义, 其次借助于解析刻画定理证明分数布朗随机 流在白噪声分析框架下是一个广义泛函. ? 收稿日期: 2016-09-26 接收日期: 2017-04-18 基金项目: 国家自然科学基金 (71561017);

西北民族大学引进人才科研项目 (xbmuyjrc201701);

西北民 族大学基本科研业务费专项资金资助项目 (31920170035). 作者简介: 肖艳萍 (1979C), 女, 甘肃白银, 副教授, 主要研究方向: 非线性泛函分析. 作者简介: 郭精军.

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38 2 预备知识 该部分主要介绍分数布朗运动、白噪声分析框架及一些相关结果, 详细内容见文献 [2, 7C8]. 定义 2.1 [1?2] 如果 {BH (t)}t∈R 是一个中心高斯过程且有 E[BH (t)BH (s)] =

1 2 (|t|2H + |s|2H ? |t ? s|2H ), t, s ∈ R, 称随机过程 {BH (t)}t∈R 为分数布朗运动. 为了获得 BH (t) 的表示形式, 需要利用分数积分算子 Iα ± 和微分算子 Dα ±, α ∈ (0, 1). 如果120, 分数布朗随机流 ξH,ε(x) = T

0 pε(x ? BH t ) WH t dt 是一个 Hida 广义泛函, 其中 pε(x) =

1 √ 2πε exp{?x2 2ε }. 进一步, 对每个 f ∈ S(R), ξH,ε(x) 的S变换为 S(ξH,ε(x))(f) = T

0 1 2π(ε + t2H) d

2 ・ exp{ (x ? R (MH ? I[0,t])(s)f(s)ds)2 2(ε + t2H) }(MH ? I[0,s])(t)f(t)dt.

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38 证 对任意 f ∈ S(R), 首先验证引理 2.4 中可积性条件满足. 计算 S - 变换 S(pε(x ? BH t ) WH t )(f) =S(pε(x ? BH t ))(f)S(WH t )(f) =

1 2π(ε + t2H) d

2 exp{? (x ? R (MH ? I[0,t])(s)f(s)ds)2 2(ε + t2H) }(MH ? I[0,s])(t)f(t). 由文献 [1] 中的引理 2.5, 定理 2.3 以及推论 2.8, 对f∈S(R), 有|(MH ? I[0,s])(t)f(t) | =| (MH + f)(t) |≤ max x∈R | (MH + f)(x) | ≤ C3,1(max x∈R | f(x) | + max x∈R | f (x) | + | f |L1(R)), 其中 C3,1 是一个依懒于 H 的常数. 因而, 对所有复值 z ∈ C, 有|S(pε(x ? BH t ) WH t )(zf) | ≤

1 2π(ε + t2H) d

2 exp{ x2 + | R (MH ? I[0,t])(s)zf(s)ds |2 ε + t2H } | z || MH + f(t) | ≤

1 2π(ε + t2H) d

2 exp{ x2 + C2 3,1 | z |2 t2 f

2 ε + t2H }C3,1 | z | f , 其中 f = ( d i=1 (sup x∈R | fi(x) | + sup x∈R | fi (x) | + | fi |)2 )

1 2 , f = (f1,fd) ∈ S(R). 最后一个 等式的指数部分是可积的, 且t2 t2H +ε 在[0, T] 上是有界的. 于是, 由引理 2.4 知S(ξH,ε(x))(f) = T

0 1 2π(ε + t2H) d

2 ・ exp{? (x ? R (MH ? I[0,t])(s)f(s)ds)2 2(ε + t2H) }(MH ? I[0,s])(t)f(t)dt. 定理 3.3 对每个 H ∈ (0, 1) 和d≥1, Bochner 积分 δ(x ? BH (t)) ≡

1 2π d Rd exp{iλ(x ? BH t )}dλ 和ξH(x) = T

0 δ(x ? BH t ) WH t dt 都是 Hida 广义泛函. 进一步, 当ε趋于

0 时, ξH,ε(x) 在(S)? 中收敛到 ξH(x). 证 利用文献 [8] 中的一些结果, 易见 δ(x ? BH (t)) ≡

1 2π d Rd exp{iλ(x ? BH t )}dλ No.

3 肖艳萍等: 分数布朗随机流

561 是一个 Hida 广义泛函. 再次利用引理 2.4 证明 ξH(x) = T

0 δ(x ? BH t ) WH t dt 也是一个 Hida 广义泛函. 事实上, 可积性显然. 有界性条件验证如下 S(δ(x ? BH t ) WH t )(f) = S(δ(x ? BH t ))(f)S(WH t )(f) =

1 2πt2H d

2 Rd S(eiλ(x?BH t ) )(f)(MH ? I[0,s])(t)f(t)dλ =

1 2πt2H d

2 Rd exp{?

1 2 λ2 t2H + iλ(x ? R (MH ? I[0,t])(s)f(s)ds)2 }dλ(MH ? I[0,s])(t)f(t), 则对所有的 z ∈ C, 有|S(δ(x ? BH t ) WH t )(zf)(t) | =

1 2πt2H d

2 | Rd exp{?

1 2 λ2 t2H + iλ(x ? z R (MH ? I[0,t])(s)f(s)ds)2 }dλ | (MH ? I[0,s])(t)zf(t) | ≤

1 2πt2H d

2 | (MH ? I[0,s])(t)f(t) || z || Rd exp{?

1 4 | λ |2 t2H } ・ exp{?(

1 2 | λ |2 t2H ?

1 tH | x ? z R (MH ? I[0,t])(s)f(s)ds |)2 } ・ exp{

1 t2H | x ? z R (MH ? I[0,t])(s)f(s)ds |2 }dλ ≤(

1 2πt2H ) d

2 | z || MH + f(t) || Rd exp{?

1 4 | λ |2 t2H } ・ exp{

2 t2H (x2 + | z |2 C2 3,1t2 f

2 )}dλ ≤

1 2πt2H d

2 | z | C3,1 f Rd exp{?

1 4 | λ |2 t2H } exp{

2 t2H (x2 + | z |2 C2 3,1t2 f

2 )}dλ. 最后一个等式在 Rd 上关于 λ 可积, 同时第二部分关于 λ 是一个常数. 因此, 由引理 2.4, 分数布朗随机流 ξH(x) = T

0 δ(x ? BH t ) WH t dt 是一个 Hida 广义泛 函, 且有如下不等式 S(ξH(x))(f) = T

0 S(δ(x ? BH t ))(f)S(WH t )(f)dt =

1 2πt2H d

2 T

0 Rd exp{?

1 2 λ2 t2H + iλ(x ? R (MH ? I[0,t])(s)f(s)ds)2 }(MH ? I[0,s])(t)f(t)dλdt. 由控制收敛定理知, 当ε趋于

0 时, S(ξH,ε(x))(f) 收敛于 S(ξH(x))(f). 由引理 2.3 知, 当ε趋于0时, ξH,ε(x) 收敛到 ξH(x). 文献 [6] 利用........