DOC《Chap Ⅰ 函数、极限与连续》

Chap Ⅰ 函数、极限与连续 函数是现代数学的基本概念之一,是高等数学的主要研究对象.

极限概念是微积分的理论基础,极限方法是微积分的基本分析方法,因此,掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法,为今后的学习打下必要的基础. §1.函数本节重点:函数的性质. 本节难点:函数的概念. 本节内容:

一、引言 在现实世界中,一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初,数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里,这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.

二、集合的概念 集合(或简称集)是指具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集 由有限个元素组成的集合. 无限集 由无穷多个元素组成的集合. 集合的表示:列举法和描述法. ;

. 例如,平面上坐标适合方程的点的全体组成的集合 . 自然数集合N;

整数集合Z;

有理数集合Q;

无理数集合R\Q;

实数集合R;

复数集合C. ;

;

参考课时:15+3 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分. ――冯. 诺伊曼 注:冯. 诺依曼(John von Neumann,1903-1957,匈牙利人),20世纪最杰出的数学家之一,在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支,从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面,他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础,他发明的 流程图 沟通了数学语言与计算机语言,制造了第一台计算机,被人称为 计算机之父 . ;

. 子集 . 集合相等 . 空集 不含任何元素的集合. () 例如

三、集合的运算 交集 并集 差集 补集(余集) 交换律 结合律 分配律 对偶律

四、区间与邻域 开区间 闭区间 , 数称为这些区间的长度. , . 常用I表示区间. 邻域 数集称为点的邻域,记作 点叫做这邻域的中心,叫做这邻域的半径. . = () 去心邻域 =

五、函数概念 在研究问题过程中保持一定的数值的量叫做常量;

可以取不同的数值的量叫做变量. 相对,理想气体,互相转化 通常用表示常量,用表示变量. 例1圆的面积 . 例2 自由落体运动 . 例3内接于圆的正n边形的边长 . 抽去上面几个例子中所考虑的量的实际意义,它们都表达了两个变量之间的关系,这种关系给出了一种对应法则,根据这一法则,当其中一个变量在其变化范围内任意一个数值时,另一个变量就有确定的值与之对应. Df 设和是两个变量,是非空数集.如果对于每个, 按照某法则,变量有(唯一)确定的数值和它对应,则称是的函数,记作 . 哲学:辩证法 数学方法:抽象 称规则为函数 叫做自变量,叫做因变量. 数集叫做函数的定义域, 值域 实际问题的定义域,抽象函数的定义域. (解不等式组) 单值函数,多值函数. . Df 设,(规则, ,则称规则为(从到)的函数. 数值函数 Df 设, 则称映射为函数.

六、函数的表示法 解析(公式)法,表格法,图示(图像)法.

七、分段函数举例 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数. 符号函数 取整函数 不超过的最大整数. .(Drichlet狄义希莱函数) 分段函数是一个函数!不是多个函数.