DOC《石景山区2017—2018学年第一学期高三期末试卷》

石景山区2017―2018学年第一学期高三期末试卷 数学(理) 本试卷共6页,150分.

考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡. 第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合,,

则( ) A. B. C. D. 2.设是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.用计算机在之间随机选取一个数,则事件""发生的概率为( ) A.B.C.D. 4.以角的顶点为坐标原点,始边为轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角终边过点,则( ) A.B.C.D. 5.""是"方程表示双曲线"的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.给定函数①,②,③,④,其中在区间上单调递减的函数序号是( ) A.①④ B.①② C.D.③④ 7.《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍(底面为矩形的屋脊状的几何体),下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈,那么此刍甍的体积为( ) A. 3立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈 8. 小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点出发,沿箭头方向经过点跑到点,共用时,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为,他与教练间的距离为,表示与的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( ) A.点B.点C.点D.点 第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.若,,

,则的大小关系为_______. 10.执行下面的程序框图,若输入的的值为,则输出的的值是_ 11.若实数满足则的取值范围为_ 12.设常数,若的二项展开式中项的系数为,则______. 13.在中,为上异于,的任一点,为的中点,若 ,则_ 14.若集合且下列四个关系: 有且只有一个是正确的. 请写出满足上述条件的一个有序数组_符合条件的全部有序数组的个数是_

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分) 如图,在中,为边上一点,,

,. (Ⅰ)若,求的大小;

(Ⅱ)若,求的面积. 16.(本小题共13分) 摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是:每车使用不超过小时(包含小时)是免费的,超过小时的部分每小时收费元(不足小时的部分按小时计算,例如:骑行小时收费为元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过小时还车的概率分别为 ,;

小时以上且不超过小时还车的概率分别为,;

两人用车时间都不会超过小时. (Ⅰ)求甲乙两人所付的车费相同的概率;

(Ⅱ)设甲乙两人所付的车费之和为随机变量,求的分布列及数学期望. 17.(本小题共14分) 如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,

,,

为中点. (Ⅰ)求证:;

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在点,使得?若存在,求的值;

若不存在,说明理由. 18.(本小题共13分) 已知函数. (Ⅰ)若 ,确定函数的零点;

(Ⅱ)若,证明:函数是上的减函数;

(Ⅲ)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值. 19.(本小题共14分) 已知椭圆离心率等于,、是椭圆上的两点. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时,满足,试问直线的斜率是否为定值?如果为定值,请求出此定值;

如果不是定值,请说明理由. 20.(本小题共13分) 如果项有穷数列满足,,

…,,

即,则称有穷数列为"对称数列".例如,由组合数组成的数列就是"对称数列". (Ⅰ)设数列是项数为7的"对称数列",其中成等比数列,且.依次写出数列的每一项;

(Ⅱ)设数列是项数为(且)的"对称数列",且满足,记为数列的前项和;

()若是单调递增数列,且.当为何值时,取得最大值? ()若,且,求的最小值. 石景山区2017―2018学年第一学期高三期末试卷 数学(理)答案及评分参考

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 题号

1 2

3 4

5 6

7 8 答案 A A D B A C B D

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 题号

9 10

11 12

13 14 答案 (3,2,1,4);

6 (第14题第一空3分,(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3) 任选一个即可,第二空2分)

三、解答题共6小题,共80分. 15.(本小题共13分) 解:(Ⅰ)设,,

则,2分 所以 …………5分 因为, 所以, 即.7分(Ⅱ)过点作交的延长线于点, 因为, 所以, 所以;

11分 所以.13分16.(本小题共13分) 解:(Ⅰ)甲乙两人用车时间超过2小时的概率分别为:1分 甲乙两人所付车费用相同的概率………4分(Ⅱ)随机变量ξ的所有取值为.5分…………10分 的分布列为:

0 1

2 3

4 …………11分 数学期望.13分17.(本小题共14分) 解:(Ⅰ)证明:设与的交点为,连接. 因为为矩形,所以为的中点, 在中,由已知为中点, 所以,2分 又平面,平面,3分 所以平面.4分(Ⅱ)解:取中点,连接. 因为是等腰三角形,为的中点, 所以, 又因为平面平面, 因为平面,,

所以平面.5分 取中点,连接, 由题设知四边形为矩形, 所以, 所以. 如图建立空间直角坐标系,则,,

,,

,,

. 6分 设平面的法向量为, 则即 令,则,,

所以. 平面的法向量为, 设,的夹角为,所以.9分 由图可知二面角为锐角, 所以二面角的余弦值为.10分(Ⅲ)设是棱上一点,则存在使得. 因此点,,

. ……12分由,即. 因为,所以在棱上存在点,使得, 此时.14分18.(本小题共13分) 解:(Ⅰ)当时,则…… 1分 定义域是,令……………2分 是所求函数的零点.3分(Ⅱ)当时,函数的定义域是,4分 所以,…………5分令,只需证:时,6分又, 故在上为减函数,7分 所以,8分 所以,函数是上的减函数.9分(Ⅲ)由题意知,,

且,10分 所以,即有,11分令,,

则, 故是上的增函数,又,因此是的唯一零点, 即方程有唯一实根,所以.13分19.(本小题共14分) 解:(Ⅰ)因为,又, 所以 ………2分 设椭圆方程为,代入,得……4分 椭圆方程为 …………5分(Ⅱ)当时,斜率之和为 …………6分 设斜率为,则斜率为 …………7分 设方程为,与椭圆联立得 代入化简得: , 同理,,

即直线的斜率为定值.14分20.(本小题共13分) 解:(Ⅰ) 因为数列是项数为7的"对称数列",所以 ……………1分 又因为成等比数列,其公比, 所以数列的7项依次为:9,3,1,,

1,3,9 3分(Ⅱ)()由是单调递增数列且数列是"对称数列"且满足可知是公差为2的等差数列,是公差为的等差数列 …5分…………7分 所以当时,取得最大值.8分()因为即. 所以 即. 于是………10分 因为数列是"对称数列" 所以 因为即解得或 所以 …………12分 当是公差为的等差数列时满足,且, 此时,所以的最小值为.13分 【注:若有其它解法,请酌情给分】