PDF《由回差阵奇异值求稳定裕度的退化算法》

第33 卷第

4 期2016 年4月控制理论与应用Control Theory &

Applications Vol.

33 No.

4 Apr.

2016 由由由回 回 回差 差 差阵 阵 阵奇 奇 奇异 异 异值 值 值求 求 求稳 稳 稳定 定 定裕 裕 裕度 度 度的 的 的退 退 退化 化 化算 算 算法 法法DOI: 10.7641/CTA.2016.50551 李信栋1? , 苟兴宇1,2 (1. 北京控制工程研究所, 北京 100190;

2. 空间智能控制技术重点实验室, 北京 100190) 摘要: 本文研究使用回差阵奇异值求多输入多输出(MIMO)线性定常系统稳定裕度的方法. 首先对此方法进行退化分 析, 得到求解单输入单输出(SISO)线性定常系统稳定裕度的算法步骤. 在此基础上, 讨论退化所得算法与传统稳定裕度 的关系;

进一步地, 详细分析此退化算法相比传统稳定裕度的优势, 进而指出当系统的增益和相位同时变化时, 系统Nyquist曲线g(jω)到临界点(?1, j0)的最短距离min |1 + g(jω)|可作为一种更加合理的稳定裕度指标. 最后, 通过对 实例进行数值仿真, 说明本文所提退化算法可以克服传统稳定裕度局限性,同时与传统稳定裕度结合得到比较完整 的SISO线性系统稳定裕度衡量体系. 关键词: 回差阵奇异值法;

稳定裕度;

奈奎斯特曲线;

鲁棒性 中图分类号: TP273 文献标识码: A Degraded algorithm for determining stability margin by using singular value of the return difference matrix LI Xin-dong1?, GOU Xing-yu1,2 (1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China;

2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China) Abstract: We investigate the algorithm for determining the stability margins for multi-input multi-output (MIMO) linear time-invariant systems by using singular values of the return difference matrix. First, we consider the degraded algorithm to develop the procedures for determining stability margins for single-input single-output (SISO) linear time- invariant systems. On this basis, we investigate the relationship between the results obtained from the degraded algorithm and the traditional stability margins. Next, we analyze in detail the advantages of the degraded algorithm over the traditional methods in determining the stability margins and point out that, when the gain and phase are varying simultaneously, the shortest distance min |1 + g(jω)| between the Nyquist plot g(jω) and the critical point (?1, j0) can be considered as a more appropriate stability margin index. Finally, the numerical simulation results of practical examples demonstrate that the proposed algorithm is able to overcome the limitations of the traditional methods. Meanwhile, a more perfect stability margin measurement system can be obtained by incorporating the proposed degraded stability margins with the classical stability margin. Key words: singular value of the return difference matrix;

stability margin;

Nyquist plot;

robustness

1 引引引言 言言(Introduction) 在经典控制理论中, 对单输入单输出(single-input single-output, SISO)线性定常系统的稳定裕度问题, 已经进行了深入的研究并得到公认的定义, 目前一般 采用增益裕度和相位裕度指标来衡量, 两者分别表示 系统达到临界稳定所容许回路增益或者相角变化的 最大值[1] . 随着对SISO线性系统稳定裕度研究的深 入, 对某些特定控制方案可得出明确稳定裕度结果, 文献[2C4]针对SISO线性系统LQ最优状态反馈调节 器的增益裕度和相位裕度进行研究, 结果表明线性二 次型调节器(linear quadratic regulator, LQR)控制系统 可以具有至少±60? 的相位裕度以及无穷大的增益裕 度, 具有重要工程意义. 文献[5]分析了采用模型参考 自适应方法的控制系统增益裕度问题, 结果表明连续 时间 SISO 直接模型参考自适应的控制系统具有 (0, +∞)的增益裕度. 此外, 对于具有参数不确定性的区 间系统稳定裕度也得到了许多成果[6C7] . 但是, 也应该看到传统的增益裕度和相位裕度概 念和以上成果都是分别针对系统幅值和相角而言, 并 没解决增益和相角同时摄动情况下系统的相对稳定 收稿日期: 2015?06?24;

录用日期: 2015?11?26. ?通信作者. E-mail: lxdongliu@163.com;

Tel.: +86 15201169416. 本文责任编委: 段志生. 国家自然科学基金项目(41274041)资助. Supported by National Natural Science Foundation of China (41274041). 第4期李信栋等: 由回差阵奇异值求稳定裕度的退化算法

461 性问题. 而且, 对于某些系统的鲁棒稳定性, 传统的增 益裕度和相位裕度合在一起仍然可能是不够的, 如周 克敏等[8] 书中所述, 对于某些系统当增益和相角同时 变化时, 增益裕度和相位裕度不能准确指出系统的鲁 棒性. 这恰是传统稳定裕度概念的不足之处. 众多学 者已经注意到这个问题, 并为此做了许多工作. 其中, Latchman和Crisalle等人提出了临界方向理论(critical direction theory)[9C10] , 在某一频率点处给出临界方向 和临界扰动半径的概念, 并通过定义临界灵敏度扰动 半径, 得到Nyquist鲁棒灵敏度裕度这一指标, 用来反 映系统鲁棒稳定裕度. 文献[11]尝试寻求一种能将经 典控制中增益和相位裕度与现代控制设计技术联系 起来的方案, 可实现增益裕度和相位裕度指标向诸如 H∞和?分析法[12] 等现代控制器设计技术指标的转化. 文献[13]讨论了SISO系统两种特殊不确定情形下 ?(ω)分别与增益裕度和相位裕度之间的关系;

并在此 基础上进一步建立?(ω)与可同时确保的增益裕度和 相位裕度关系. 然而, 此方法的不足之处在于系统 的?(ω)值求取较困难且不易获得准确值, 使得稳定裕 度结果具有保守性. 文献[4,14C15]针对MIMO线性定 常系统的稳定裕度提出了回差阵奇异值法的概念. 利 用奇异值理论, 通过在输入端引入不确定性量测阵, 建立回差阵最小奇异值与传统增益裕度和相位裕度 的关系, 从而确定系统保持稳定所容许每个通道增益 或相位的同时变化范围. 可以看出回差阵奇异值法有 以下几点优势: 1) 算法的重点在于求解整个频带范围 内系统回差阵的最小奇异值, 计算量较小;

2) 整个算 法求解过程中只用到系统回差阵信息, 有效避免了系 统各回路间耦合作用, 降低了分析难度. 针对传统稳定裕度在处理增益和相角同时摄动时, 现有方法不能给出系统鲁棒稳定性的准确判断这一 问题, 本文将进行深入分析和研究. 基于MIMO线性 定常系统稳定裕度的回差阵奇异值法, 对此方法进行 退化研究, 得到一种求解SISO线性系统稳定裕度的新 算法. 进一步地, 结合Nyquist理论讨论退化所得算法 与传统稳定裕度的关系, 并在此基础上, 分析这种算 法对于增益和相角同时摄动情形下判断系统鲁棒稳 定性的优势, 解释能够克服传统稳定裕度局限性的原 因, 从而得到比较完善的SISO线性定常系统稳定裕度 衡量体系.

2 回回回差 差 差阵 阵 阵奇 奇 奇异 异 异值 值 值法 法 法的 的 的退 退 退化 化化(Degradation analy- sis of singular value of the return difference matrix) 文献[14C15]已对回差阵奇异值法这一MIMO线 性系统稳定裕度理论进行了详细研究, 本节将对此方 法进行退化分析, 研究其退化为SISO线性系统的情 形[16] . 具体地, 考查一般单位反馈线性系统g(s), 在输 入端引入不确定性量测项p(s), 如图1所示. 定义不确 定性量测项p(s) = ke?τs , 令s = jω, 则可得p(jω)如下: p(jω) = kej? , (1) 其中: 参数k表示系统的增益, ?表示系统容许滞后的 相角. 图1一般单位反馈系统模型 Fig.

1 Unit feedback system 接下来探讨系统达到临界稳定状态时参数k和? 所能变化的最大范围. 首先, 本文假定标称状态下系 统是稳定的, 即满足条件 |1 + g(jω)| >

0. (2) 引入不确定性p(s), 若使系统仍保持稳定, 则有|1+ p(jω)g(jω)| >

0. 利用分离特性:

1 + pg(jω) = [(

1 p ........