PDF《从“研题 ”、“究题 ”到“编题 ”》

从 研题 、 究题 到 编题 ― ― ―以椭圆中心三角形面积研究为例 陈芝飞1 方均斌2 ( 1.

温州市第十四高级中学3

2 5

0 0 0;

2. 温州大学3

2 5

0 3

5 ) 波利亚指出 解题的价值不是答案本身, 而是 在于弄清是怎样想到这个解法的 , 数学教师离不 开解题研究. 研― ― ―石开也: 把石头撬开, 既需要 耐心与 勇气, 更需要高屋建瓴谋全局的意识. 究― ― ―九穴也: 问题的表象可能扑朔迷离, 需要有 锲而不舍、 上下求索的探究意识与探究精神. 通过 解题研究( 简称 研题 ) 挖掘题目背后蕴藏的数学 观点、 数学思想, 透过现象认识本质. 研题既是高 中数学教师必备素养与能力, 也是教学研究的重 要组成部分. 那么研哪些题?怎么研题?笔者结 合椭圆中心三角形面积的研究谈谈自己的收获与 体会, 与读者共享.

1 聚焦题源 研题的最终目的是为了学生的学, 帮助学生 走出题海, 提高效率, 减轻学生的学习负担. 因此, 作为高中数学教师应时常关注高考题、 竞赛题、 高 考模拟题等, 一般来说, 一些频繁出现的类似问题 常会引起人们的关注. 笔者留意到近几年对于椭 圆中心三角形( 定义: 设O为椭圆的中心, A 、 B 为其 上的两点, 称AOB为椭圆的中心三角形[ 1] . ) 的面积考查频率较高. 如图1 题1(2015・ 浙江卷改编) 已知椭圆x

2 2 + y

2 =1上两 个不同的点 A, B 关于直线y =m x+

1 2 对称. 求A O B 面 积的最大值( O 为坐标原点, 图1 ) . 题2 (

2 0

1 5天津一中高三月考改编) 在椭圆x

2 a

2 图2 + y

2 b

2 =1( a>

b>

0) 中, 四边形ABCD的顶点都在椭圆上, 且对角线 A C、 B D 过原点 O, 若kAC・k B D = - b

2 a

2 , ( 图2)求证: 四边形 A B C D 的面 积为定值. 图3 题3(

2 0

1 6 年温州市一模) 如图3, 已知椭圆C: x

2 a

2 + y

2 b

2 =1( a>

b>

0) 经 过点 1, 6()2,且离心率等于22.点 A, B 分别为椭圆C 的左、 右顶点, M, N 是 椭圆C 上非顶点的两点, 且OMN 的面积等于 2.( Ⅰ) 求椭圆C 的方程;

( Ⅱ) 过点 A 作A P∥OM 交椭圆C 于点P, 求证: B P∥ON. 通过查阅资料, 发现包括文[

2 ] , 文[

3 ] 在内的 许多文章都只研究椭圆中心三角形面积的最大值 问题, 得到如下结论: M, N 是椭圆C: x

2 a

2 + y

2 b

2 =1 ( a>

b>

0 ) 非顶点的两点, 则中心三角形 OMN 面 积取到最大值 a b

2 的充要条件是k O M ・ k O N =- b

2 a

2 . 我们自然会想到, 对于给定的椭圆, 其中心三 角形面积决定因素是什么?定面积的椭圆中心三 角形背后的数学本质又是什么?

2 研题与究题 基于这样的思考, 笔者先尝试用初等的方法

3 5

2 0

1 8年第5 7卷第6期 数学通报 探索, 结果发现了一个有趣的现象: 椭圆的问题往 往具有 圆的影子 . 采取高等数学中的仿射变换, 得到了一些有趣的结论, 收获颇丰. 2.

1 朴实无华地初等探索 聚焦题源, 选定研题素材之后, 接下来就是明 确研题方向提出问题, 解决问题. 以初 等方法起步, 表征化归、 以简驭繁. 提出问题: 直线: y=k x+m 与椭圆C: x

2 a

2 + y

2 b

2 =1 ( a>

b>

0 ) 交于不同的两点 A、 B( O 为椭圆 的中心) , 求中心三角形A O B 的面积. 解 联立方程组 y= k x+m x

2 a

2 + y

2 b

2 =1 , 代入化简得 ( b

2 + a

2 k

2 ) x

2 +2 k m a

2 x+ a

2 m2 - a

2 b

2 =0, 由Δ>

0得m2 <

b

2 + a

2 k

2 ;

设A( x 1, y 1) , B( x 2, y 2) , 则x 1+x 2=-

2 k m a

2 b

2 + a

2 k

2 , x 1・x 2= a

2 ( m2 - b

2 ) b

2 + a

2 k

2 , O A B 的面积记S =

1 2 | x

1 y 2-x

2 y

1 | = m

2 | x 1-x

2 |, 代入化简得S= a b | m | b

2 + a

2 k

2 b

2 + a

2 k

2 -m 2,即S= a b | m | b

2 + a

2 k 21- m2 b

2 + a

2 k 2.由此可知对于给定的椭圆, 其中心三角形的 面积由 m b

2 + a

2 k 2决定, 那么 m b

2 + a

2 k 2又有什么 含义呢? 2.

2 高屋建瓴地 研题 为了更好地识得真相, 需要挖掘高等数学的 背景, 首先想到仿射变换. 构造变换μ: x ′=x y ′= a b y,在变换μ 下椭圆C 由圆O: ( x ′)

2 +( y ′)

2 =a

2 纵 向压缩而来( 如图4 ) , 直线 A B: y= k x+m 由直线A ′ B ′: b a y ′= k x ′+m 纵向压缩而来. 图4 又SA O B = b a S ′A ′ O B ′, 故S ′A ′ O B ′为定值, 进一步得出点 O 到直线 A ′ B ′的距离 a | m | b

2 + a

2 k 2为定值. 于是椭圆中心三角形面积由中心O 到直线b a y ′= k x ′+m 的距离唯一确定. 即若O 到直线A ′ B ′的距离为定值, 则椭圆中心三角形O A B 面积为定值, 反之亦然. 于是得到椭圆中心三角形定面积的定理: 定理 对给定的椭圆 C: x

2 a

2 + y

2 b

2 =1( a>

b>

0 ) , 若直线: y= k x+m 与椭圆C 交于不同的两点 A、 B( O 为椭圆的中心) , 则中心三角形A O B 的 面积为定值的充要条件是O 到直线A ′ B ′: b a y= k x + m 的距离为定值, 且SA O B = a b | m | b

2 + a

2 k 21- m2 b

2 + a

2 k 2.该定理既帮助我们认识椭圆定面积的本质, 也为我们提供了做椭圆定面积三角形的一个方 法. 以题

3 为例, 在仿射变换的下将椭圆变换成 圆, 则∠A P B=∠MON=9

0 ° , 由仿射变换的平行 不变性得证. 2.

3 上下求索地 究题 正如波利亚所言 好问题类似于采蘑菇, 采到 一个后还应四处看看, 也许还有更多 , 所以研题 者须有上下求索的 究题 精神. 推论1 直线: y=k x+m 与椭圆C: x

2 a

2 + y

2 b

2 =1 ( a>

b>

0) 交于不同的两点 A、 B( O 为椭圆的 中心) , 记线段AB中点为M,若中心三角形OAB的面积为定值S, 则点 M 的轨迹是椭圆, 且当 m2 <

b

2 + a

2 k

2 ≤2 m2 时, 点M的轨迹方程是

4 5 数学通报

2 0

1 8年第5 7卷第6期x2 a

2 + y

2 b

2 =

1 2 +

1 4 - S

2 a

2 b 2;

当b

2 +a

2 k

2 >

2 m2 时, 点M的轨迹方程是 x

2 a

2 + y

2 b

2 =

1 2 -

1 4 - S

2 a

2 b 2(图5 ) . 图5 证明 由定理知: S= a b | m | b

2 + a

2 k 21- m2 b

2 + a

2 k 2,联立直线与椭圆C 的方程组易得线段A B 中点 M - k m a

2 b

2 + a

2 k

2 , m b

2 b

2 + a

2 k ( )

2 , 所以点 M 的轨迹方程 x

2 M a2 + y

2 M b

2 = m2 b

2 + a

2 k

2 , 令t = m b

2 + a

2 k 2,则S= a b t 1- t 2,t∈( 0,

1 ) 解得t

2 =

1 2 ±

1 4 - S

2 a

2 b 2.故t

2 ∈[

1 2 ,

1 ) 时, 即m2 <

b

2 + a

2 k

2 ≤2 m2 时, 点M的轨迹方程是 x

2 a

2 + y

2 b

2 =

1 2 +

1 4 - S

2 a

2 b 2,t2∈0, ( )

1 2 时, 即b

2 + a

2 k

2 >

2 m2 时, 点M的轨迹方程是 x

2 a

2 + y

2 b

2 =

1 2 -

1 4 - S

2 a

2 b 2.推论2 A, B 为椭圆C: x

2 a

2 + y

2 b

2 =1 ( a>

b>

0 ) 上不同的两点, 且O A B 面积为 a b

2 , 若→ttOP= λ → t t A O ( λ>

0) , 直线 B P 与椭圆C 交于点G( 不同于 B 点) , 则O B G 面积为 λ a b λ

2 +1 . 证明 i ) 若点 A, B 分别是椭圆C 的长轴、 短轴的顶 点, 易证O B G 面积为 λ a b λ

2 +1 i i ) O A B 面积为 a b

2 , 由定理易知 m b

2 + a

2 k 2=

2 2 , 椭圆C 在变换μ: x ′=x y ′= a b y下, 得到圆O: ( x ′)

2 +( y ′)

2 = a

2 ,( 如图

6、

7 ) 进一步得 O A ′⊥O B ′. 图6 由仿射变换不变性知 → t t O P ′= λ → t t A ′ O, 若λ>

1, ( 如图 6) 结合圆的割线性........