PDF《第5次作业参考答案》

第5次作业参考答案 1.

解解解: : : 很抱歉:题目可能没有说清楚. 题目的意思是知 道< σx >, < σy >,,

但是不知道< σy >, 只知道它的正负. 自旋为1/2的粒子的纯态系综可以由Bloch球面上的矢量n来 表示: ρ =

1 2 (I + n ・ σ) = 1+

2 ?i

2 +i

2 1?

2 其中 ? ? ? ? ? nx =< σx >= sin θ cos ? ny =< σy >= sin θ sin ? nz =< σz >= cos θ 满足 < σy >2 =

1 ? n2 x ? n2 y. 在知道< σy >正负的情况下,可以定出< σy >. 选择θ ∈ (0, π), φ ∈ (0, 2π), 可以写出态 |α = (cos(θ/2)|+, z + sin(θ/2)eiφ |?, z )eiγ . 至于整体的相位γ不确定不影响物理态的确定. 下面是详细讨论. 当< σy >= 0时,在已知< σx >和< σz >的情况下,很明显 态是确定的,所以以下讨论< σy >= 0时的情况:

1 若θ = 0或π,sin θ = 0, cos θ = ±1, ρ =

1 0

0 0 or

0 0

0 1 态是确定的. 若θ = 0和π,sin θ = 0,所以: θ = arccos < σz > cos ? = < σx > sin θ = < σx > √ 1? < σz >2 因为θ ∈ (0, π),所以sin θ > 0.若< σy >> 0,sin ? > 0,? ∈ (0, π);

若< σy >< 0,sin ? < 0,? ∈ (π, 2π).所以: ? = arccos √ 1?2 , < σy >>

0 2π ? arccos √ 1?2 , < σy ><

0 综上所述,确定了< σx >,< σz >的值,以及< σy >的符 号之后,态是确定的. 2