PDF《2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案》

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2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案 一 填空题(共有

5 小题, 每小题

6 分,共30 分) (1) 已知

1 x y e = 和2xyxe = 是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是_ 答案: ( )

2 ( ) ( )

0 y x y x y x ?? ? - + = [参考解答] 由题设知该方程的特征方程有二重根

1 r = ,故所求微分方程是 ( )

2 ( ) ( )

0 y x y x y x ?? ? - + = .

(2)设有曲面

2 2 :

2 S z x y = + 和平面 :

2 2

0 L x y z + + = , 则与 L平行的 S 的切平面方程是_ 答案:

3 2

2 0

2 x y z + + + = [参考解答] 设0000(,,

)Pxyz为S上一点, 则S在0P的切平面方程是

0 0

0 0

0 2 ( )

4 ( ) ( )

0 x x x y y y z z 由于该切平面与已知平面L平行,则00(2,4,1) x y - - 平行于(2,2,1) , 故存在常数0k?使得

0 0 (

2 ,

4 ,1) (2,2,1) x y k - - = , 从而

1 k = . 故得

0 1 x = - ,

0 1

2 y - = , 这样就有

0 3

2 z = . 所求切面方程是

3 2

2 0

2 x y z (3)设函数 ( ) y y x = 由方程

2 1 sin

4 y x t x dt p - ? ? = ? ÷ è ? ò 所确定,求0xdy dx = = . 答案:

3 y? = [参考解答] 易知在 (0)

1 y = . 对方程的两边关于 x 求导,得21sin ( ) ( 1),

4 y x y p ? ? ? = - - ? ÷ è ? 于是

2 csc ( )

1 4 y y x p ? ? ? = - + ? ÷ è ? ,把0x=代入上式,得3y? = . (4)设1(1)! n n k k x k = = + ? ,则lim n n x ?? 答案:1 [参考解答]

1 ( 1)! n n k k x k = = + ? =

1 1

1 ! ( 1)! n k k k = ? ? - ? ÷ + è ? ?

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 2! 2! 3! 3! 4! ! ( 1)! ( 1)! n n n ? ? ? ÷ + + L .

2 (5 ) 已知

1 3

0 ( ) lim

1 x x f x x e x ? ? ? + + = ? ÷ è ? 则20()lim x f x x ? 答案:

2 [参考解答] 由130()lim

1 x x f x x e x ? ? ? + + = ? ÷ è ? 知01()lim ln(1 )

3 x f x x x x ? + + = ,于是有

1 ( ) ln(1 )

3 , f x x x x a + + = + 其中 0( 0) x a ? ? ,即有

3 2 ( )

1 1 x x f x e x x a + - = - ,从而

3 2

0 0

0 ( )

1 3 lim lim

1 lim

1 2. x x x x x f x e x x x x x a a + ? ? ? - + 二 (本题满分

12 分) 设n为正整数, 计算

2 1

1 cos ln . n e d I dx dx x p - ? ? = ? ÷ è ? ò [参考解答与评分标准] ( )

2 2

1 1

1 cos ln cos ln n n e e d d I dx x dx dx x dx p p - - ? ? = = ? ÷ è ? ò ò

2 1

1 sin ln . n e x dx x p -

6 分) 令ln , x u = 则有

0 2 /2

2 0

0 sin sin

4 sin

4 n n I udu t dt n t dt n p p p - = = = =

12 分) 三 (本题满分

14 分) 设函数 ( ) f x 在[0, 1]上有二阶导数, 且有正常数 , A B 使得 f x A f x B ? ? . 证明:对任意 [ , ]

0 1 x? ,有| ( ) |

2 2 B f x A ? ? + . [参考解答与评分标准] 由泰勒公式,有21(0)0 ) ( )(0 ) , (0, ),

2 f f x f x x f x x x x ? ??

2 1 (1)1 ) ( )(1 ) , ( ,1),

2 f f x f x x f x x h h ? ??

5 分) 上述两式相减,得到

2 2

1 1 (0) (1)1 ) ( ) ,

2 2 f f f x f x f x h x ? ?? ?? 于是

2 2

1 1 ( ) (1) (0) ( )(1 ) ( )

2 2 f x f f f x f x h x ? ?? ??

8 分) 由条件| f x A f x B ?? ? ? ,得到 ( )

2 2 | ( ) |

2 (1 )

2 B f x A x x

11 分) 因222(1 )

2 2

1 x x x x 在[ , ]

0 1 的最大值为 1, 故|()|22BfxA14 分) 四 (本题满分

14 分) (1)设一球缺高为 h,所在球半径为 R .证明该球缺的体积为

2 (3 )

3 R h h p - ,球冠 的面积为

2 Rh p .

3 (2)设球体

2 2

2 ( 1) ( 1) ( 1)

12 x y z 被平面 :

6 P x y z + + = 所截的小球缺为 W . 记球缺上的球 冠为S ,方向指向球外,求第二型曲面积分 I xdydz ydzdx zdxdy S = + + òò . [参考解答与评分标准] (1)设球缺所在的球体表面的方程为

2 2

2 2 x y z R + + = ,球缺的中心线为 z 轴, 且设球缺所在圆锥顶角为 2a . 记球缺的区域为W ,则其体积为

2 2

2 ( ) (3 )

3 z R R R h D R h dv dz dxdy R z dz R h h p p W - -

3 分) 由于球面的面积微元是

2 sin dS R d q q = ,故球冠的面积为

2 2

2 0

0 sin

2 (1 cos )

2 d R d R Rh p a j q q p a p = - =

6 分) (2)记球缺W 的底面圆为

1 P ,方向指向球缺外,且记

1 P J xdydz ydzdx zdxdy = + + òò . 由Gauss 公式, 有33()IJdv v W + = = W

9 分) 其中 ( ) v W 为W 的体积. 由于平面 P 的正向单位法向量为

1 (1,1,1)

3 - ,故11116()()23()33PJxyzdS P P s s - - òò , 其中

1 ( ) P s 是1P的面积.故13()3()23()IvJvPs=W-=W12 分) 因为球缺底面圆心为 (2,2,2) Q = ,而球缺的顶点为 (3,3,3) D = , 故球缺的高度 | |

3 h QD = = .再由 (1)所证并代入

3 h = 和23R=得223(3 )

2 3 (2 )

33 3

3 I R h h Rh h p p p

14 分) 五 (本题满分

15 分) 设f在[ , ] a b 上非负连续, 严格单增, 且存在 [ , ] n x a b ? 使得[ ] b n n n a f x f x dx b a = - ò

1 , 求lim n n x ?? . 证明:先考虑特殊情形: 0,

1 a b = = . 下证 lim n n x ?? = 1. 首先 [ , ] n x ?

0 1 ,即nx?1,只要证明 e e " > < 0( 1), , N n N $ " > 时,1 n x e - < . 由f在[ , ]

0 1 严格单增,就是要证明

1 0 (1 n n n n f f x f x dx e

3 分) 由于(0,1) " ? c , 有1()()(1 ) n n c f x dx f c c > - ò , 现取12e=-c,则(1 ) ( ) f f c e - < , 即4(1 )

1 ( ) f f c e - < , 于是 (1 ) lim

0 ( ) n n f f c e ?? ? ? - = ? ÷ è ? ,所以 , N n N $ " > 时有 (1 )

1 ( )

2 n f c f c e e ? ? - < = - ? ÷ è ?

8 分) 即110(1 ) ( )(1 n n n n n n c f f c c f x dx f x dx f x e ò ò ,从而1 n x e - < . 由e 的任意性得 lim n n x ?? = 1. …….. (10 分) 再考虑一般情形. 令 F t f a t b a = + - ,由f在[ , ] a b 上非负连续,严格单增知 F 在[0,1]上 非负连续,严格单增. 从而 [0,1] n t $ ? ,使得

1 0 ( ) ( ) n n n F t F t dt = ò ,且lim n n t ?? = 1,即10 n n n f a t b a f a t b a dt ò . 记()nnxatba=+-,则有 [ ] b n n n a f x f x dx b a = - ò

1 , 且lim ( ) n n x a b a b ??

15 分) 六 (本题满分

15 分) 设2222212nnnnAnnnn=++++++L,求 lim

4 n n n A p ?? ? ? - ? ÷ è ? . [解] 令()211fxx=+,因 / n n i A n i n = = + ?

2 2

1 1

1 1 ,故lim ( )

1 0

4 n n A f x dx p ?? = =

5 分) 记iixn=,则()iinxnixiAfxdx - = = ?ò

1 1 , 故 i i n x n i x i J n f x f x dx - = = - ?ò

1 1 . ……… (8 分) 由拉格朗日中值定理,存在

1 ( , ) i i i x x z - ? 使得 ( )( ) i i n x n i i x i J n f x x dx z - = ? = - ?ò

1 1 . ……… (10 分) 记im和iM分别是()fx?在[,]1iixx-上的最小值和最大值,则()iiimfMz???,故积分()( ) i i x i i x f x x dx z - ? - ò

1 介于 ( ) i i x i i x m x x dx - - ò

1 和()iixiixMxxdx - - ò

1 之间,所以存在 ( , )

1 i i i x x h - ? 使得 i i x i i i i i x f x x dx f x x z h - - ? ? - = - - ò

1 2

1 2 , ……… (12 分) 于是,有 n n n i i i i i i n J f x x f n h h - = = ? ? ? ?

2 1

1 1

1 2

2 . 从而 lim lim n n n n n A J f x dx f f p ?? ?? ? ? ? ? ÷ è ? ò

1 0

1 1

1 1

0 4

2 2

4 . ……… (15 分)