DOC《现代控制理论》

现代控制理论刘宪林 绪论1.

控制理论的发展和基本内容 (1)自动控制技术的应用 古代中国:西汉,指南车(开环控制,采用扰动补偿) 北宋,水运仪象台(闭环控制) 俄国:1765年,锅炉水位调节器 英国:1784年,蒸汽机转速调节器 (2)自动控制理论的发展 古典控制理论:20世纪40年代.频率法,根轨迹法,相平面法等,主要用于单变量线性定常系统. 现代控制理论:20世纪60年代初.状态空间法,最优控制,最优滤波,系统辨识,自适应控制等.可用于多变量、非线性、时变、随机系统. 新型控制策略:20世纪80年代以来.多变量频域法,模糊控制,人工神经网络控制,专家系统,鲁棒控制,灰色控制、可拓控制、相平面分区控制等. 2.参考书 刘豹,现代控制理论(第2版),机械工业出版社 胡寿松,自动控制原理(第4版),科学出版社 郑大钟,线性系统理论,清华大学出版社 MATLAB在控制系统中的应用类. 第1章 控制系统状态空间模型 第1节 状态空间模型的概念 第2节 内部描述与外部描述的关系 第3节 各类系统的状态空间模型 第4节 线性系统的坐标变换 第5节 组合系统的状态空间模型 第1节 状态空间模型的概念

1、线性定常系统的外部描述 视系统为 黑箱 ,仅描述-间的关系. 形式:高阶微分方程或传递函数(矩阵). 单变量系统 微分方程 传递函数 系统零点:的解. 系统极点:的解. 为系统的特征方程. 多变量系统 用高阶微分方程组或传递函数矩阵描述-间的关系.【例】设某双输入―双输出的三阶系统的动态方程为 作0初始条件下的拉氏变换,得: 因则即一般地 式中 ―― 的传递函数矩阵,阶. 的元素: 对实际系统, 说明: 只能描述线性定常系统在零初始条件下的关系;

没有提供系统内部状态的信息,对系统的描述可能是不完全的;

可试验求得,对于工作机理或内部结构不明系统的建模非常有用;

给定系统的是唯一的.

2、控制系统的内部描述模型 (1)基本术语 动力学系统:由相互联系和作用的若干单元组成的具有输入和输出的整体. 控制系统:由控制器和控制对象组成的动力学系统. 状态变量:能够完全确定系统状态的最小一组变量,,

. 状态向量:,为系统的阶数. 状态空间:以状态变量为轴所张成的维线性正交空间.,,

是在各坐标轴上的投影. 状态轨迹:当变化时,的矢端轨迹称. 说明: 对实际系统,建模近似条件不同,将不同. 对 阶系统,状态变量的选取不唯一.优先选取易量测的变量. (2)状态空间模型 一般形式 (状态方程) (输出方程) 式中 ―状态向量;

―输入向量;

―输出向量;

状态方程为一阶向量微分方程,描述与间的动态关系. 输出方程为代数向量方程,描述与、间的静态关系. 为单变量系统,否则为多变量系统. 线性定常系统 式中 ―系统矩阵;

―输入矩阵;

―输出矩阵,―前向矩阵(常为0).均为定常矩阵. 简记为:S(A, B, C, D)或S(A, B, C)(当D=0) 线性时变系统 系数矩阵中有时变矩阵的系统称为线性时变系统. 线性系统状态空间模型结构图: 状态空间模型全面描述--间的关系,属于内部描述,适用于线性定常系统、非线性系统、时变系统等各类系统的描述. 第2节 内部描述与外部描述的关系

1、由状态空间模型求传递函数矩阵 (1)S(A, B, C, D) 线性定常系统状态空间模型 的运算形式: 整理得 若存在,则若,则 式中 ―的传函矩阵. 若,,

则有 式中 ― 的传函矩阵. 一般地,输出向量 式中 ― 的传函矩阵,即系统传函矩阵. 若D=0 ,则 说明: *对单变量系统,传函矩阵退化为传递函数. *对给定系统,A, B, C, D不惟一,但惟一. *可能存在 零极点对消 ,如是,. (2)预解矩阵 在系统分析和求解中具有重要作用,称为预解矩阵. 其中 ――系统特性多项式. 对低维A阵,直接采用上式计算预解矩阵. 对高维A阵,可采用以下递推算法计算: 记 和由下边的递推关系给出: , , , , 式中 表示矩阵的迹.最后一步用于验算. 这一方法同时提供了一种求取系统特征方程的递推算法.

2、由传递函数求状态空间模型 (1)能控规范型和能观规范型 由梅逊(Mason)公式,若系统各回环之间、各回环与各前向通道都相互接触,则输入节点与输出节点之间的增益为 式中 ―第l 个回环的增益;

―输入节点到输出节点第k条前向通道的增益. 据此,改写传函 为 有如下两种系统结构与其对应. 1)能控规范型 由图所示状态变量顺序,得: 即有能控规范型: 式中 ――友矩阵 2)能观规范型 可得能观规范型: 式中 说明: *两种规范型直接利用传函的系数即可写出. *两种规范型的结构为串联结构. 3)对偶系统 若两系统和具有如下关系 ,,

称两系统互为对偶系统. 显然,上述能控规范型和能观规范型之间满足 ,,

互为对偶系统. 因 故互为对偶系统的特征方程相同. 注意: 互为对偶系统的输入输出维数对调. (2)对角规范型和约旦规范型 1)对角规范型 设的极点两两互异.对其作部分分式展开 式中 ―系统在极点处的留数: 设系统极点均为实数,则各也为实数. 结构图: 对角规范型: 其对偶系统也是对角规范型: 2)约旦规范型 有重极点时,可化为约旦规范型. 设系统极点均为实数,为q重,为互异单极点,则 式中 ―对应重极点的系数,分别由下列各式计算 ―系统在单极点处的留数. 结构图(设,): 约旦规范型: 其对偶系统也是约旦规范型. 3)复数极点下的约旦规范型 如系统具有共轭复数极点,对应的留数也将为复数,上述约旦规范型的物理意义不明确.可如下处理: 设有 ,则.对应的复数环节并联结构可变换为实数环节的串联结构: 例:设4阶系统 ,为互异实根,则其约旦规范型结构为 说明: *对角线规范型是约旦规范型的特例;

*二者必须先求取系统特征根;

*二者为并联型结构,对应重极点和共轭复极点的并联部分内部为串联结构. *对共轭复数极点的情况,可通过模态变换形成模态规范型,后详. * 状态空间模型的规范型为研究系统特性,搭建仿真电路,编制分析软件提供了方便.单变量系统状态空间模型还有其他形式的规范型,多变量系统状态空间模型的规范型比较复杂,暂略. (3)由传函框图求状态空间模型 实际系统传函框图的各环节一般对应实际部件(设备),环节的连接反映系统的结构.以传函框图的各环节为单元对象建立状态方程,并以各环节的输出为状态变量,可使状态空间模型的状态变量物理意义明确且便于量测. 1)基本环节的状态方程 积分环节 传函框图和信号流图: 由框图得: 或由传函直接得 惯性环节 由框图得: 或由传函得 振荡环节 () 状态方程: 具有零点的惯性环节 状态空间模型: 振荡环节和具有零点的惯性环节的状态方程不便利用原传函直接写出. 2)传函框图S(A, B, C, D) 基本步骤: 1)将各个方框分解成积分环节、惯性环节等上述典型环节;

2)以各典型环节的输出变量为状态变量,列写各环节的状态方程,各环节的输入变量根据环节的连接关系确定;

3)列写输出变量与状态变量和控制变量的代数关系式;

4)整理成状态空间模型. 练习: 对图示系统求其状态空间模型. 说明: *对多变量系统,采用类似的方法可求得其状态空间模型. *由传函框图所得状态空间模型一般不是规范型.一般形式的状态空间模型变换为规范型的方法,后详. *最小实现.与传递函数对应的状态空间模型称作系统的实现.同一传递函数可以对应多个阶数不同的实现,其中阶数最低的称为最小实现.最小实现不惟一,但阶数一定.最小实现结构最简单,用其进行研究成本最低,结果最可靠、最简洁. 第1章 控制系统状态空间模型 第1节 状态空间模型的概念 第2节 内部描述与外部描述的关系 第3节 各类系统的状态空间模型 第4节 线性系统的坐标变换 第5节 组合系统的状态空间模型 第3节 各类系统的状态空间模型

1、线性定常系统的状态空间模型 根据系统机理和结构,建立状态空间模型. 基本步骤: 1)根据基本科学定理,列写微分方程和代数方程;

2)消去中间变量;

3)写成状态空间模型. 说明: * 对物理系统,系统的阶数等于独立储能元件的个数. * 非线性较弱的系统可近似视其为线性系统. * 对于内部结构和工作机理不明确的系统,可通过试验辨识得到. * 若存在 零极点对消 , .

2、非线性系统的状态空间模型 1)一般形式 【例】:对图示系统 可有 2)线性化形式 若非线性函数关系在所研究的区域内单值连续可微,则可在工作点处将非线性系统的状态空间表达式线性化. 设系统 的工作点为,则 线性化状态空间表达式 式中 , , 线性化状态空间表达式只适用于对原系统在工作点附近的性能进行分析.

3、含延迟环节系统的状态空间模型 1)含延迟环节系统的状态空间模型 延迟环节的时域描述: 式中 ―延迟时间 传递函数: 带延迟环节的单变量系统的传递函数一般可表为 式中 ―不带延迟环节的传函 状态空间模型 其中 系数矩阵由确定. 2)延迟环节的近似 惯性环节串联近似 式中 当较大时取较大数值,反之可取较小数值.极端情况下,若很小,则可取,即 近似 近似公式: 式中系数如下表所示:

1 0.5

0 0

0 0

0 2 0.5 1/12

0 0

0 0

3 0.5 1/10 1/120

0 0

0 4 0.5 3/28 1/84 1/1680

0 0 一般取,或. 在带延迟环节的系统传函 中,采用上述近似公式后,即可转换为状态空间模型对系统进行研究.

4、分布参数系统的状态空间模型(略) 分布参数系统的运动方程由常微分方程和偏微分方程两部分组成.若分布参数环节可用集总参数环节等效,系统的运动方程就只有常微分方程组成. 例:均匀输水管道如图所示. 忽略管道水阻,计及水和管道的弹性,x断面t时刻的水压H = H (x, t)与流量Q = Q (x, t)间的关系为: 式中,A ――管道横截面积;

D――管道直径;

a――水击波速;

g――重力加速度. 在工作点对上式线性化,且变量采用标幺值,得,对上式作拉氏变换,得 运用上式的解,可得均匀水管两端的水压―流量关系式 式中,,

, , 设,则管道末端水压―流量间的传递函数为超越函数: 式中,――水流惯性时间常数;

――水波反射时间常数. 将上式中的超越函数展开为级数分式,截取若干项,即可由其得到状态空间模型.

5、时变系统的状态空间模型(略) 对慢缓时变系统,在一定范围内可近似作为定常系统处理;

对一些特殊的时变系统,则可能通过适当的坐标变换把其转化为定常系统进行分析. (1)静止abc坐标系下的状态空间模型 无阻尼绕组三相隐极式同步发电机带对称电阻负载恒角速运行. 磁链方程 其中 简记为 式中,,

是d轴与a轴间的夹角,为其起始值,为转子电角速度,在此设其为常数. 磁链导数为 从电压方程和负荷方程又可得: 联立解得 即 其中,、均为时变矩阵. 可见,在abc坐标下,同步发电机为时变系统,求解比较困难. (2)dq0坐标系下的状态空间模型 引入派克变换矩阵 将磁链方程变换到dq0坐标系,可得: 其中 故M为常数阵,这表明,dq0坐标系下的磁链方程为常系数代数方程.(若改选正交派克变换矩阵,则可使变换后的电感矩阵对称) 对电压方程实施派克变换 其中 为常数阵. 与磁链方程联立,得即其中,A、B均为常数阵. 在dq0坐标系下,同步发电机转换为线性定常系统.

6、周期性变结构系统的状态空间模型 电力电子电路中包含功率开关器件、二极管、PWM调制器等非线性元件,随着这类元件通断状态的变化,电路的拓扑相应地发生变化.电力电子电路的结构变化具有高频率和周期性的特点.利用这些特点,可基于状态平均模型研究其准稳态状态. 例:Buck-Boost DC/DC变换器 Buck-Boost DC/DC变换器结构示意图 Buck-Boost DC/DC变换器不同阶段下的电路结构 在电力电子电路中,对应每个开关周期(是占空比,控制变量),开关元件Q进行一次导通和关断过程,电流、电压等变量完成一次周期变化过程. 电力电子电路始终处于暂态,其变量中的直流分量和低频分量起主要作用.研究准稳态特性时,可近似采用周期均值模型. (1)变量的开关周期平均值 变量的开关周期平均值为 式中 为开关周期. 电流和电压的周期均值仍然满足电阻、电感和电容元件的特性方程,即有 ,,

以电感元件为例,电感元件两端的电压和流经电感元件的电流波形图: (2)状态空间平均模型 在两次开关状态保持期间(阶段1和2),电力电子电路为两种不同的线性定常电路. 假定电路工作在电流连续方式(CCM).输入电压源为,状态向量为电感电流、电容电压等,且在电路的不同阶段状态变量的选取相同. 设在阶段1和2,描述电路的状态方程分别为 假定在两个不同阶段,状态变量的变化率近似为常数,可得状态空间平均模型: 二者构成状态空间平均模型,其可用于电力电子电路的准稳态分析.. (3)状态空间平均模型的线性化 上述状态空间平均模型含有和,是非线性方程,不便于系统的分析和设计.当电路变量周期均值仅在稳态工作点附近波动时,可对其进行线性化. 记,,

,,

其中下标

0 表示变量在稳态工作点的周期均值,表示周期均值的微增量.线性化方程: 式中,,

, , 若记 ,,

,则线性化状态平均模型可写为 注意,模型中的变量均为周期均值的微增量. 说明: 若电力电子电路工作于电流断续方式(DCM),其线性化状态平均模型需在CCM时的模型上,再增........