DOC《2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）》

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值. (18)(本小题满分13分) 已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,. (Ⅰ)求和的通项公式;

(Ⅱ)求数列的前n项和. (19)(本小题满分14分) 设,.已知函数, (Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点()处有相同的切线, ()求证:在处的导数等于0;

()若关于的不等式在区间上恒成立,求的取值范围. (20)(本小题满分14分) 已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为,的面积为. (Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设点在线段上,,

延长线段与椭圆交于点,点,在轴上,,

且直线与直线间的距离为,四边形的面积为. ()求直线的斜率;

()求椭圆的方程. 2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文科数学参考答案

一、选择题: (1)B (2)B (3)C (4)C (5)D (6)C (7)A (8)A 二. 填空题: (9)-2 (10)1 (11) (12) (13)4 (14) 三. 解答题: (15)(本小题满分13分) (Ⅰ)解:由,及,得由,及余弦定理, 得(Ⅱ)解:由(Ⅰ),可得, 代入,得由(Ⅰ)知,为钝角,所以 于是,,

故(16)(本小题满分13分) (Ⅰ)解:由已知,满足的数学关系式为 即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分: (Ⅱ)解:设总收视人次为万,则目标函数为 考虑,将它变形为,这是斜率为,随变化的一族平行直线,为直线在轴上的截距,当取得最大值时,的值最大.又因为满足约束条件,所以由图2可知,当直线经过可行域上的点时,截距最大,即最大. 解方程组得点的坐标为(6,3) 所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. (17)(本小题满分13分) (Ⅰ)解:如图,由已知,故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. 因为平面,所以. 在中, 由已知,得, 故 所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为 (Ⅱ)证明:因为平面,直线平面,所以. 又因为,所以,又,所以平面 (Ⅲ)解:过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. 因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD//BC,DF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BCCBF=2. 又AD⊥DC,故BC⊥DC,在RtDCF中,可得, 在RtDPF中,可得 所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 (18)(本小题满分13分) (Ⅰ)解: 设等差数列的公差为,等比数列的公比为 由已知得,而,所以 又因为,解得 所以 由,可得 ① 由,可得 ② 联立①②,解得,由此可得 所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为 (Ⅱ)解: 设数列的前项和为,由,有,,

上述两式相减,得得. 所以,数列的前项和为. (19) (Ⅰ)解: 由 可得 令,解得,或由,得 当变化时,的变化情况如下表: + - + 所以,的单调递增区间为,,

单调递减区间为 (Ⅱ) ()证明:因为,由题意知, 所以,解得 所以,在处的导数等于0 ()解:因为,,

由,可得. 又因为,,

故为的极大值点,由(Ⅰ)知. 另一方面,由于,故, 由(Ⅰ)知在内单调递增,在内单调递减, 故当时,在上恒成立, 从而在上恒成立. 由,得,. 令,,

所以, 令,解得(舍去),或. 因为,,

,因此的值域为. 所以,的取值范围是. (20)(本小题满分14分) (Ⅰ)解:设椭圆的离心率为,由已知,可得 又由,可得,即 又因为,解得 所以,椭圆的离心率为 (Ⅱ) ()解:依题意,设直线的方程为,则直线的斜率为 由(Ⅰ)知,可得直线的方程为,即, 与直线的方程联立,可解得, 即点的坐标为 由已知,有,整理得, 所以,即直线的斜率为 ()解:由,可得,故椭圆方程可以表示为 由()得直线的方程为,与椭圆方程联立, 消去,整理得,解得(舍去),或 因此可得点,进而可得, 所以 由已知,线段的长即为与这两条平行直线间的距离,故直线与都垂直于直线, 因为,所以, 所以的面积为,同理的面积等于,由四边形的面积为,得,整理得,又由,得. 所以,椭圆的方程为