DOC《《光量子学基础》习题答案（沈建其提供,2009年6月）》

显然,z分量角动量. 下面计算角动量算符平方:为了方便,引入一波函数,让角动量算符作用在上: 于是,可以得到.在中,用、与标记的项可以抵消掉,剩余的项为: ,再加,得到: 由于为任意波函数,所以角动量算符平方的表达式是 命题得证. 3.由于氢原子内电子是没有确定的轨道的,电子位置测不准度就是氢原子半径(大约为0.5埃).根据动量-位置测不准关系,试计算动量不确定度. 再计算 (为电子质量),看看与氢原子基态能量eV是否处于同一数量级?如果处于同一数量级,说明什么? 根据动量-位置测不准关系,计算一个宏观小球的动量不确定度(假设小球的质量为10克,位置不确定度是0.01米,小球的速度是5m/s).将动量不确定度与小球动量比较,比较结果说明了什么? 答:动量不确定度Kg・m/s. J=3.78eV (用了1ev=J) 由于3.78eV与eV处于同一量级水平,说明:氢原子内电子是没有确定的轨道的,轨道概念没有意义,电子波动性占主导地位,电子的位置是不确定的,跟踪一个电子的运动是无意义,我们只能预言电子出现在该点的几率.电子与质子(氢原子核)虽然具有强大的库仑吸引力,但是因为电子的波动性,电子要离域于大约0.5埃尺度的空间区域,这就是电子不会掉进原子核中去的原因,等等. 宏观小球的动量不确定度 Kg・m/s.这比起宏观小球的动量来,实在太小了.说明:宏观小球的动量是确定的,可以跟踪,粒子性明显. 证明角动量对易关系 答:此有多种证明方法(包括简洁证明方法,但知识要求较高).下面使用最原始最笨拙也最容易理解的方法: , .为了方便,引入一波函数,让角动量算符作用在上: 花括号内的项: 于是,花括号内的项之和为,那么 .由于任意,所以成立.命题得证. 说明:在经典世界中,,

但在量子世界中,. 选择题:电子显微镜与扫描隧道显微镜获得了1986年Nobel物理学奖,它们各自使用了什么量子特性: 电子显微镜原理(A);

扫描隧道显微镜原理(B) A. 电子的波动性 B. 隧道(势垒)贯穿效应 C. 电子具有自旋自由度 D. 电子能量(能级)量子化 (可以使用网络资源,去了解电子显微镜与扫描隧道显微镜的基本原理) 第四次习题: 1.电子自旋算符为: 试证明:它们也满足与角动量对易关系类似的式子: . 依次类推,我们还可以得到,.试证明以上三式可以合并写为:. (注意:如果是经典物理量,必然为零,但现在是算符,不为零) 答: 由于的三个分量公式是: 而,,

也可以写为上述三式,所以该三式可以合并写为:.命题得证. Stern-Gerlach 实验对于预言电子自旋概念具有重要的启发性意义.叙述Stern-Gerlach 实验现象,并对现象进行解释. 答:已知具有磁矩(磁偶极矩)的粒子在磁感应强度的磁场中具有势能.如果非均匀(是空间的函数),那么粒子受到一个力.利用这个理论机制,来设计Stern-Gerlach 实验: 用两块磁铁制备非均匀磁场(沿着z方向).假设有一束银原子(处于基态,轨道量子数L=0)沿着y方向运动,射入磁场.实验表明:入射银原子束分裂为两小束,在屏幕上观察到两条由银原子堆积的亮线.由于银原子基态轨道量子数L=0,说明没有轨道磁矩.那么导致银原子分束的磁矩来自什么呢?可以来自电子的自旋(与自旋磁矩).由于入射银原子束分裂为两小束,说明电子自旋磁矩只可以取两个数值(不连续),那么自旋也只有两个数值(不连续),电子自旋为. 3. 求Pauli矩阵与空间单位矢量的乘积的本征态与本征值,其中,. (答案是: 有两个本征态与本征值: 答:先求的本征值: 具有非零本征态的条件是矩阵行列式为零:, 所以 所以,本征值有两个. 下面求两个本征值对应的本征态: 对于, , 对于, , 所以,有两个本征态与本征值: 说明:这两个本征态都是归一化了的,且它们之间是正交的,即第一个态矢量的厄密共轭(转置+取复共轭)与第二个态矢量的内积为零:. 电子x,y分量的自旋算符为 .当电子自旋波函数为本征态时,计算,. 提示:,答案都为. 答:电子x分量自旋的平均值是 电子x分量自旋平方的平均值是. 所以 电子y分量自旋的平均值是 电子y分量自旋平方的平均值是. 所以 说明:对于本征态,的本征值是,因为, 我们也可以计算出,在其自己的本征态中,是完全确定的.但,不等于零,说明电子x,y分量自旋值是不确定的,这是因为,都与不对易之故.(如果对易关系,那么当能确定的时候,必然不确定;