DOC《2015年普通高等学校招生全国统一考试》

2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理科)(北京卷) 本试卷共5页,150分.

考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.复数 A. B. C. D. 2.若,满足则的最大值为 A.0 B.1 C. D.2 3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A. B. C. D. 4.设,是两个不同的平面,是直线且.""是""的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是 A.B.C.D.5 6.设是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则7.如图,函数的图像为折线,则不等式的解集是 A.B. C.D. 8.汽车的"燃油效率"是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在的展开式中,的系数为 .(用数字作答) 10.已知双曲线的一条渐近线为,则.11.在极坐标系中,点到直线的距离为 . 12.在中,,

,,

则.13.在中,点,满足,.若,则;

.14.设函数 ①若,则的最小值为 ;

②若恰有2个零点,则实数的取值范围是 .

三、 解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15.(本小题13分) 已知函数. (Ⅰ) 求的最小正周期;

(Ⅱ) 求在区间上的最小值. 16.(本小题13分) ,两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: 组:10,11,12,13,14,15,16 组:12,13,15,16,17,14, 假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率;

(Ⅱ) 如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;

(Ⅲ) 当为何值时,,

两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 17.(本小题14分) 如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,

,,

,为的中点. (Ⅰ) 求证:;

(Ⅱ) 求二面角的余弦值;

(Ⅲ) 若平面,求的值. 18.(本小题13分) 已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)求证:当时,;

(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值. 19.(本小题14分) 已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点. (Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);

(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;

若不存在,说明理由. 20.(本小题13分) 已知数列满足:,,

且. 记集合. (Ⅰ)若,写出集合的所有元素;

(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;

(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理科)(北京卷)答案

一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) (1)A (2)D(3)B(4)B(5)C(6)C(7)C(8)D