PDF《2017年第56卷》

2017年第56卷第8期 数学通报

49 揭示解题方法的数学本质改进数学解题教学① 孔德宏 贺政刚 (云南师范大学数学学院650092) 在中学数学解题教学中,教师往往只是讲了 一道题的多种解法,而对为什么可以这样解(解法 的依据),以及解法的数学本质往往揭示得不够, 呈现出课堂解题教学热热闹闹、方法多样的表象.

但这样的解题教学事实上却是低效甚至无效的, 本质上也是有害学生学习的.本文以一个问题(已 知一条二次曲线,求一次式的最值)的三种典型解 法为例,谈谈数学解题教学中如何揭示解法的数 学本质,从而改进数学解题教学. 问题 已知z2+y2一xy一3,求2z+y的最 大值. 分析 由于条件是一个二次式,很难把这个 二次式直接代入El标式.于是大体有两种思路:一 是令2z+y―t,把该一次式反向代回条件消y,得 到关于a2的二次方程,进而用判别式法求t的最 大值;

二是改变看问题的角度,想办法转化条件, 使之可以正向代入目标式子中,以达到消元的目 的,进而解决问题.正向代人又有两种思路:一是 借助余弦定理;

二是借助坐标变换. 解法1(正向代入+余弦定理) 考查条件z2 +y2一xy=3的结构,很像余弦定理a2+b2― 2abcos c―C2,于是可以在ABC中,令a―z,b ―y,c一,/g,C一睾,则问题转化为求2a+b的最 大值. 由正弦定理 上一上一上=兰--2sin A sin B sin C , 丁c ' 5m i 则a一2sin A,b一2sin B,A+B一竿, 于是 2a+b一2・2sin A+2sin B =4sin A+2sin(孥一A) 一5sin A+瓶cos A 一2万sin(A+∞) ≤2万, 其中P―arctan譬,o