PDF《第6章习题解答》

第6章习题解答 6-1.

已知某随机信号的观测序列为 ) sin( ] [

0 θ + ? = k k x , 式中θ为一均匀分布的随机变量, 其概率密度函数为 ? ? ? ? ? ≤ = 其它

0 2

1 ) ( π θ π θ p 试计算该随机信号的均值和自相关函数. 解:由随机信号均值的定义可得 )} {sin( ]} [ {

0 θ ? + = k E k x E θ θ ? d π

2 1 ) sin(

0 π π + = ∫? k =0 由随机信号自相关函数的定义可得 )} sin( ) {sin( ] , [

2 0

1 0

2 1 θ ? θ ? + + = k k E k k Rx θ θ ? θ ? d π

2 1 ) sin( ) sin(

2 0

1 0 π π + + = ∫? k k )] ( cos[

2 1

1 2

0 k k ? = ? 6-2. 设 ,式中 ] [ ] [ k x A k x ∧ + = ]} [ { k x E A = ,且 ,试证:

0 ]} [ { = ∧ k x E . ] [ ] [ ?

2 n R A n R x x + = 证明: 根据自相关函数的定义,可得 ]} [ ] [ { ] [ n k x k x E n Rx + = ])} [ ? ])( [ ? {( n k x A k x A E + + + = ]} [ ? ] [ ? { ]} [ ? { ]} [ ? { } {

2 n k x k x E n k x E k x E A E + + + + + = 由于 ,故可得

0 ]} [ { = ∧ k x E ] [ ] [ ?

2 n R A n R x x + = 6-3. 已知某随机序列的功率谱 ? + = ? cos

1 ) ( x P ,试求其自相关函数和平均功率 P . 解: 因为 ? + = ? cos

1 ) ( x P ? ? ? + + = j j

2 1

2 1

1 e e ? ? ∞ ?∞ = ∑ = j x n e n R ] [ 所以 , }

5 .

0 ,

1 ,

5 .

0 { ] [ ↓ = n Rx

1 ]

0 [ = = x R P 6-4. 设有一数字滤波器的系统函数为 )

8 .

0 )(

6 .

0 (

1 ) ( ? ? + = z z z z H 若其输入随机序列的均值为 5,试求其输出序列的均值. 解: 因为系统极点在单位圆内,所以系统稳定,故有 )

8 .

0 )(

6 .

0 (

1 ) ( ) ( ? ? + = = ? ? ? = ? ? j j j e z j e e e z H e H j

125 ) (

0 = = j x y e H m m 6-5. 一平稳随机序列 X[k]其自相关函数 , 自功率谱 为常数, 试 求通过一个 q 阶FIR 滤波器后的 ] [ ] [

2 n n R x x δ σ =

2 ) ( x x P σ = ? ) ( ], [ ], [ ? xy xy y P n R n R . 解: 设q阶FIR 滤波器为 ] [ ] [

0 i k x b k y q i i ? = ∑ = 该滤波器的系统函数为 i q i i z b z H ? = ∑ =

0 ) ( 故得 ∑ = ? ? ? = q i i j i j e b e H

0 ) ( 输出功率谱为 ) ( ) ( ) (

2 ? = ? ? x j y P e H P

2 2

0 x q i i j i e b σ ∑ = ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ∑ ∑ = =

2 0

2 0

2 sin cos q i i q i i x i b i b σ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = ∑ ∑ ∑ = ≠ = = q j j i j i q i q i i x j i b b b

0 0

0 2

2 ) cos( σ 6.6 习题

3 利用傅里叶变换对

1 ] [ DTFT ? ? → ? k δ ? ? ? → ? ? + + m m k m k cos

2 ] [ ] [ DTFT δ δ 对Py(?)求傅里叶反变换即得输出的自相关函数 ]} [ ] [ {

2 ] [ ] [

0 0

2 0

2 2 i j n i j n b b n b n R q j j i j i q i x q i i x y + + + ? + + ? ? ? ? ? ? = ∑ ∑ ∑ = ≠ = = δ δ σ δ σ 互功率谱和互相关函数可类似地求出,分别为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? ∑ ∑ = = q i i q i i x xy i b j i b b P

1 1

0 2 sin cos ) ( σ ]} [ ] [ { ] [ n k y k x E n Rxy + = ]} [ ] [ {

0 i n k f b k x E q i i ? + = ∑ = ]} [

0 i n R b x q i i ? = ∑ = 6-6. 一线性系统其差分方程为 ]

1 [ ] [ ]

1 [

8 .

0 ] [ ? + + ? = k x k x k y k y 式中 x[k]是宽平稳随机序列,具有零均值和自相关函数 n x n R

5 .

0 ] [ = , 求(a)系统输出y[k]的功率谱;

(b)输出自相关Ry[n];

(c)输出的方差 .

2 y σ 解: (a) 由差分方程可得系统函数为

1 1

8 .

0 1

1 ) ( ? ? ? + = z z z H 由于系统的极点位于单位圆内,故系统稳定,系统的频响特性为 ? ? ? ? ? ? + = j j j e e e H

8 .

0 1

1 ) ( , ? ? ? + = ? cos

6 .

1 64 .

1 cos

2 2 ) (

2 j e H 根据维纳――辛钦公式,可得输入序列的功率谱为

2 2

5 .

0 cos

1 5 .

0 1 }

5 .

0 { DTFT ) ( + ? ? ? = = ? n x P ? ? = cos

25 .

1 75 .

0 利用式(6-24)可得输出 y[k]的功率谱为 ) ( ) ( ) (

2 ? = ? ? x j y P e H P ) cos

25 .

1 )( cos

6 .

1 64 .

1 ( cos

5 .

1 5 .

1 ? ? ? ? ? + = (b) 输出自相关Ry[n]为)} ( { IDTFT ] [ ? = y y P n R (c) 输出 y[k]的均值为

0 ) (

0 = = j x y e H m m 其方差为 ]

0 [ } ] [ {

1 2

1 lim

2 2 y y N N k N y R m k y N = ? + = ∑ ? = ∞ → σ 6-7. 已知某平稳随机序列的一个样本 x[k]的6个观测值为{0.1746,0.7258,2.1832, ?0.1867,?0.5883, ?0.1364},试求其均值、方差和自相关函数估计. 解: 均值估计: ∑ ∑ = ? = = =

5 0

1 0 ] [

6 1 ] [

1 ? k N k x k x k x N m =0.362 方差估计: ∑ ∑ = ? = ? = ? =

5 0

2 1

0 2

2 } ? ] [ {

6 1 } ? ] [ {

1 ? k x N k x x m k x m k x N σ =0.8228 自相关函数估计: ] [ ] [

1 ] [ ?

1 0 n k x k x N n R N k x + = ∑ ? = 0.004} - 0.0336, - 0.1262, - 689, 0.249,-0.1 , 0.9539 0.249, 0.1689, - 0.1262, - 0.0336, - 0.004, { ↓ = - 6-8. 已知某平稳随机序列的一个样本 x[k]的4个观测值为{1,?1,0,1},试分别用自相 关法和周期图法计算其功率谱估计. 解: 自相关法: }

1 ,

1 ,

1 ,

3 ,

1 ,

1 ,

1 {

4 1 ] [ * ] [

1 ] [ ? ? ? ? ? = ? = ↓ n x n x N n Rx 对上式进行傅里叶变换即得功率谱估计为 ]} [ ? { DTFT ) ( ? n R P x x = ? )

3 (

4 1 j3 j2 j j

2 j

3 j ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? = e e e e e e )

3 cos

2 2 cos

2 cos

2 3 (

4 1 ? ? ? + ? ? = 6.6 习题

5 周期图法: 对x[k]进行离散时间傅里叶变换,有????=???+?==∑3101][)(jjNkkjjNeeekxeX根据式(6-45)即可求出功率谱估计为 ) ( ) (

1 ) (

1 ) ( j * j

2 j ? ? ? = = ? e X e X N e X N I N N N N )

3 cos

2 2 cos

2 cos

2 3 (

4 1 )

1 )(

1 (

4 1

3 3 ? + ? ? ? ? = + ? + ? = ? ? ? ? ? ? j j j j e e e e 6-9. 已知某平稳连续随机信号的最高频率fm=100Hz, 利用周期图法估计该信号的功率谱. (1) 若用DFT进行谱分析,抽样频率 fsam=2000Hz,谱线间隔小于 2Hz,则进行谱估 计的信号的最小长度N是多少? (2) 试给出两种将谱估计的方差减小到原来方差 1/10 的方法,并比较这两种方法. 解: (1) 信号的最小长度

1000 sam = = c f f N ? (2) 可以采用 Bartlett 法,将1000 个观测值分成长度 L=100 的10 段,或者采用 Welch 法, 将1000 个观测值按各段 50%重叠分成长度 L=200 的10 段. 在同样的分段数下,采用 Welch 法,各段数据变长,因此偏差比 Bartlett 法减小,频率 分辨率比 Bartlett 法高. 6-10. 设有均值为 0, 方差为

1 的白噪声η[k]通过下列差分方程表示的滤波器后产生随机信 号y[k] ] [ ]

1 [

9 .

0 ] [ k k y k y η + ? = (1) 对AR 模型确定滤波器的系统函数 H(z). (2) 求输出功率谱 ) (? y P . 解: 由19.011)(??=zzH可得 ? ? ? ? = j e e H

9 .

0 1

1 ) ( j 已知

1 ) ( = ? η P , 故)()()(2?=??ηPeHPjy22)sin

9 .

0 ( ) cos

9 .

0 1 (

1 ? + ? ? = 6-11. 已知一平稳随机序列自相关函数的估计值为

1 .

0 ]

3 [ ? ,

3 .

0 ]

2 [ ? ,

7 .

0 ]

1 [ ? ,

1 ]

0 [ ? = = = = x x x x R R R R 试用 L-D 算法求 AR(3)模型的参数. 解: 当p=1,由式(6-85)和式(6-86)可求出 ]

0 [ ]

1 [ )

1 (

1 x x R R a ? = =?0.7 ) )

1 (

1 ](

0 [

2 1

2 1 a Rx ? = σ =0.51 当p=2,由式(6-87)、式(6-88)和式(6-89)即可求出 AR(2)模型的参数

3725 .

0 ]

1 [ )

1 ( ]

2 [ )

2 (

2 1

1 2 = + ? = σ x x R a R a )

1 ( )

2 ( )

1 ( )

1 (

1 2

1 2 a a a a + = =?0.9608

2 1

2 2

2 2 ) )

2 (

1 ( σ σ a ? = =0.4392 当p=3,由式(6-87)和式(6-88)即可求出 AR(3)模型的参数

2 2

2 2

3 ]

1 [ )

2 ( ]

2 [ )

1 ( ]

3 [ )

3 ( σ x x x R a R a R a + + ? = =?0.1652 )

1 ( )

3 ( )

2 ( )

2 (

2 3

2 3 a a a a + = = 0.5312 )

2 ( )

3 ( )

1 ( )

1 (

2 3

2 3 a a a a + = = ?1.0223, 由式(6-78)可求出该随机信号的功率谱估计为

2 j3 j2 j

2 1652 .

0 5312 .

0 0223 .

1 1 ) ( ? ? ? AR e e e P ? ? ? ? + ? = ? σ ? 6-12. 一平稳随机序列的一个样本 x[k]的5个观测值为{1,?1,0,?1,1}, (1) 利用 L-D 算法设计一个三阶 AR 模型,确定模型的参数. (2) 利用 Burg 算法计算各阶反射系数,并画出格形预测误差滤波器的框图. 解: (1)自相关函数为 }

1 ,

2 ,

1 ,

2 ,

4 ,

2 ,

1 ,

2 ,

1 {

5 1 ] [ * ] [

5 1 ] [ ? ? ? ? = ? = ↓ n x n x n Rx 6.6 习题

7 利用 L-D 算法可以递推求出

3 阶AR 模型的参数为 a3(0)= 1, a3(1)= 0.5, a3(2)= 0.25, a3(3)= 0.5 (2) (A)确定初始条件 ={1,?1,0,?1,1} ] [ ] [ ] [

0 0 k x k e k e b f = = ] [

1 1

0 2

0 k x N N k ∑ ? = = σ

0 ] [

5 1

4 0 = = ∑ = k x k (B)从p=1 开始迭代计算.由式(6-93)计算K1,得}]1[][{]1[][220204100411?+??=∑∑==kekekekeKbfkbfk202020202020202000000000]3[]4[]2[]3[]1[]2[]0[]1[]3[]4[2]2[]3[2]1[]2[2]0[]1[2bfbfbfbfbfbfbfbfeeeeeeeeeeeeeeee+++++++????==0.6667 (C) 由式(6-90) 和式(6-91)递推一阶前、后向预测误差 ={1,?0.3333,?0.6667,?1,0.3333} ]

1 [ ] [ ] [

0 1

0 1 ? + = k e K k e k e b f f ={0.6667,0.3333, ?1,?0.6667,?0.3333} ] [ ]

1 [ ] [

0 1

0 1 k e K k e k e f b b + ? = (D) 令p=2,由式(6-93)计算K2,有}]1[][{]1[][220204200422?+??=........