PDF《Exo7》

Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Différentielles et dérivées partielles secondes Exercice

1 Calculer les différentielles suivantes, sans calculer des dérivées partielles, en utilisant les propriétés des diffé- rentielles de sommes, produits et composées : (a) d(ln(xy)) (b) d(xyz(1+sinh(yz))) (c) d sin(x2 y)ex?y Indication Correction [002635] Exercice

2 1.

Y a-t-il une fonction g: R2 → R telle que dg = x2 y2 dx+x3 ydy? 2. Trouver les fonctions b: R2 → R telles qu'il existe g: R2 → R satisfaisant à la condition dg = x2 y2 dx+b(x,y)dy. ?tant donnée alors la fonction b, déterminer toutes les fonctions g correspondantes. Indication Correction [002636] Exercice

3 Soit g: R>0 *R>0 → R une fonction de classe C1 telle que g(1,1) =

3 et dont la différentielle vaille dg = (2xy+y2 )dx+(x2 +2xy)dy. (1) Soit h: R>0 *R>0 ?→ R>0 *R>0 l'application de classe C1 dé?nie par h(x,y) = (u(x,y),v(x,y)) = (x2 y,xy2 ) ∈ R>0 *R>0. 1. Calculer du+dv. 2. Déterminer g à partir du calcul précédent et (1), et sans autre calcul. 3. Montrer que h est une bijection. (On pourra calculer explicitement h?1.) 4. Déterminer explicitement d(g?h?1). 5. Calculer les matrixes jacobiennes Jh(x,y) et Jh?1 (u,v) et véri?er par un calcul direct que Jh(x,y)Jh?1 (h(x,y)) = I2, où I2 est la matrice identité d'ordre 2. Indication Correction [002637] Exercice

4 1 Calculer les matrices hessiennes des fonctions f dé?nies par les expressions suivantes sur leur domaine de dé?nition naturel : sin(xyz), sin2 (y/x). Indication Correction [002638] Exercice

5 Soit f : R2 \{(0,0)} ?→ R une fonction de classe C2 et soient r et θ les coordonnées polaires standard dans le plan de telle sorte que l'association ]0,+∞[*]0,2π[?→ R2 \{(0,0)}, (r,θ) ?→ (x,y) = (rcosθ,rsinθ), soit un changement de variables. Soit F la fonction dé?nie par F(r,θ) = f(rcosθ,rsinθ). C'est "l'expression de f en coordonnées polaires". Montrer que ?2 f ?x2 (x,y)+ ?2 f ?y2 (x,y) = ?2F ?r2 (r,θ)+

1 r ?F ?r (r,θ)+

1 r2 ?2F ?θ2 (r,θ). (2) Cette formule calcule "le Laplacien en coordonnées polaires." L'exercice ne dépend pas de la connaissance du Laplacien cependant. Indication Correction [002639] Exercice

6 Les variables étant notées x et t, trouver la solution générale f : R2 → R de "l'équation des ondes", à savoir ?2 f ?x2 ? ?2 f ?t2 = 0. (3) Trouver ensuite la solution unique de l'équation des ondes qui satisfait aux conditions initiales f(x,0) = sinx, ? f ?t (x,0) = ?cosx. (4) Indication Correction [002640]

2 Indication pour l'exercice

1 Utiliser les règles d(f +g) = d f +dg, d(fg) = fdg+gd f, d(f ?h) = (f ?h)dh. Indication pour l'exercice

2 Soient h, u, v des fonctions des deux variables x et y. Rappeler que dh = ?h ?x dx+ ?h ?y dy, d(udx+vdy) = ?v ?x ? ?u ?y dxdy, dxdy = ?dydx. Indication pour l'exercice

3 On va déterminer une primitive d'une forme différentielle de degré

1 par un changement de variables tel que, dans les nouvelles variables, la primitive soit presque évidente. Indication pour l'exercice

4 Rappeler que la matrice hessienne est la matrice constituée des dérivées partielles secondes. Indication pour l'exercice

5 1. Montrer que ?2F ?r2 +

1 r ?F ?r =

1 r ? ?r r ? ?r F. 2. Montrer que r ?F ?r = x ? f ?x +y ? f ?y . 3. Montrer que ?F ?θ = x ? f ?y ?y ? f ?x 4. Utiliser ces résultats, puis calculer encore un peu pour obtenir le résultat souhaité. Indication pour l'exercice

6 1. Grace au changement de variables R2 ?→ R2 , (u,v) ?→ (x,y) = u?v