PDF《2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）》

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2019 年广州市普通高中毕业班综合测试

(一) 理科数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1.

本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;

如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分.

一、选择题:本题共

12 小题,每小题

5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

二、填空题:本题共

4 小题,每小题

5 分,共20 分. 13.

3 7 14.

2 15.

4 ,

3 ? ? ?? ? ? ? ? 16.

3 48

三、解答题:共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第

22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 17. (12 分) (1)解法 1:因为 cos (3 )cos c B a b C ? ? , 由正弦定理得sin cos (3sin sin )cos C B A B C ? ?

1 分即CACBBCcos sin

3 cos sin cos sin ? ? , 所以 C A C B cos sin

3 ) sin( ? ?

2 分 由于 A B C ? ? ? ? ,得??sin ? ? B C ? ? sin sin A A ?? ? , 则CAAcos sin

3 sin ?

3 分 因为

0 A ? ? ?,sin

0 A ? ,所以

3 1 cos ? C

4 分 因为

0 C ? ? ?,所以

2 2

2 sin

1 cos

3 C C ? ? ?

6 分 解法 2:因为 cos (3 )cos c B a b C ? ? , 题号

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12 答案 D B C C D C B A C B B A

2 O E P D C B A 由余弦定理得 ? ?

2 2

2 2

2 2

3 2

2 a c b a b c c a b ac ab ? ? ? ? ? ? ? ? ,

1 分 化简得

2 2

2 2

3 a b c ab ? ? ?

2 分 所以

2 2

2 2

1 3 cos

2 2

3 ab a b c C ab ab ? ? ? ? ?

4 分 因为

0 C ? ? ?,所以

2 2

2 sin

1 cos

3 C C ? ? ?

6 分(2)解法 1:由余弦定理得 C ab b a c cos

2 2

2 2 ? ? ?

7 分 因为

2 6 c ? ,

1 cos

3 C ? ,所以

24 3

2 2

2 ? ? ? ab b a

8 分即24

3 4 ) (

2 ? ? ? ab b a

9 分 因为

2 ? ?a b ,所以

15 ? ab

10 分 所以 ABC 的面积

2 5

3 2

2 15

2 1 sin

2 1 ? ? ? ? ? C ab S

12 分 解法 2: 由余弦定理得 C ab b a c cos

2 2

2 2 ? ? ?

7 分 因为

2 6 c ? ,

1 cos

3 C ? ,所以

24 3

2 2

2 ? ? ? ab b a

8 分又2??a b , 解得 3,

5 a b ? ?

10 分 所以 ABC 的面积

2 5

3 2

2 15

2 1 sin

2 1 ? ? ? ? ? C ab S

12 分18. (12 分) (1)证明: 因为 ABC ? 是等边三角形,

90 BAD BCD ? ? ? ? ? , 所以 Rt ABD ? ? Rt BCD ? ,可得 AD CD ?

1 分 因为点 P 是AC 的中点,则PD AC ? , PB AC ?

2 分 因为 PD PB P ? ? , PD ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD , 所以 AC ?平面 PBD

3 分 因为 AC ?平面 ACD, 所以平面 ACD ? 平面 BDP

4 分(2)解法 1:作CE BD ? ,垂足为 E ,连结 AE . 因为 Rt ABD ? ? Rt BCD ? , 所以 AE BD ? , AE CE ? , AEC ? 为二面角 A BD C ? ? 的平面角.5 分 由已知二面角 A BD C ? ? 为120? ,故120 AEC ? ? ?

6 分 在等腰 AEC ? ,由余弦定理可得

3 AC AE ?

7 分3zyxEDCBA因为 ABC ? 是等边三角形,则AC AB ? . 所以

3 AB AE ? . 在Rt ABD ? 中,有1122AE BD AB AD ? ? ? ,得3BD AD ? , 因为

6 BD ? , 所以

2 AD ? . 又222BD AB AD ? ? ,得2AB ? . 则236,33AE ED ? ?

8 分 由上述可知 BD ? 平面 AEC ,则平面 AEC ? 平面 BCD. 过点 A 作AO CE ? ,垂足为O,则AO ? 平面 BCD.9 分 连结OD ,则ADO ? 为直线 AD 与平面 BCD所成角.10 分在Rt AEO ? 中,

60 AEO ? ? ?,所以

3 1

2 AO AE ? ?

11 分2sin

2 AO ADO AD ? ? ? . 所以直线 AD 与平面 BCD所成角的正弦值为

2 2

12 分 解法 2: 作CE BD ? ,垂足为 E ,连结 AE . 因为 Rt ABD ? ? Rt BCD ? , 所以 AE BD ? , AE CE ? , AEC ? 为二面角 A BD C ? ? 的平面角,5 分 由已知二面角 A BD C ? ? 为120? ,故120 AEC ? ? ?

6 分 在等腰 AEC ? ,由余弦定理可得

3 AC AE ?

7 分 因为 ABC ? 是等边三角形,则AC AB ? . 所以

3 AB AE ? . 在Rt ABD ? 中,有1122AE BD AB AD ? ? ? ,得3BD AD ? , 因为

6 BD ? , 所以

2 AD ? . 又222BD AB AD ? ? ,得2AB ? . 则236,33AE ED ? ?

8 分 如图所示, 以E为原点,以向量 , EC ED ??? ? ??? ? 方向分别为 x 轴,y 轴的正方向,与向量 , EC ED ??? ? ??? ? 都 垂直的方向为 z 轴,建立空间直角坐标系 E xyz ? , 则6(0, ,0)

3 D ,

3 ( ,0,1)

3 A ? ,向量

3 6 ( , , 1)

3 3 AD ? ? ???? , 平面 BCD的法向量为 (0,0,1) ? m

9 分 设直线 AD 与平面 BCD所成角为? ,

4 则12cos ,

2 2

1 m AD m AD m AD ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ???? ????

10 分2sin cos ,

2 m AD ? ? ? ? ? ????

11 分 所以直线 AD 与平面 BCD所成角的正弦值为

2 2

12 分19.(12 分) (1) 解: 设购买该商品的3位顾客中, 选择分

2 期付款的人数为? , 依题意, 得??3,0.4 B ? ? ,

1 分则??2P???????223C0.4

1 0.4 ? ? 0.288 ?

2 分 故购买该商品的3位顾客中,恰有

2 位选择分

2 期付款的概率为 0.288. (2)解: ()依题意, X 的取值分别为

400 ,

450 ,500,550,

600 3 分??400 0.4 0.4 0.16 P X ? ? ? ? , ? ?

450 2 0.4 0.8 P X a a ? ? ? ? , ? ?

2 2

500 2 0.4 0.8 P X b a b a ? ? ? ? ? ? , ? ?

550 2 P X ab ? ? , ? ?

2 600 P X b ? ?

5 分 所以 X 的分布列为:

6 分() ? ? ? ? ? ? ? ?

500 400

450 500 P X P X P X P X ? ? ? ? ? ? ?

2 0.16 0.8( ) a b a ? ? ? ?

7 分 根据题意知 0.4

1 a b ? ? ? ,得0.6 a b ? ? , 得0.6 b a ? ? , 由??500 0.8 P X ? ? ,得20.16 0.48 0.8 a ? ? ? , 解得 0.4 a ? 或0.4 a ? ? . 又0a?,则 0.4 a ?

8 分X400

450 500

550 600 P 0.16 0.8a

2 0.8b a ? 2ab

2 b

5 又0b?,得 0.6

0 a ? ? ,解得 0.6 a ? . 所以 a ? ? 0.4,0.6 ?

9 分??22400 0.16

450 0.8

500 0.8

1100 600 EX a b a ab b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……10 分520 100a ? ?

11 分当0.4 a ? 时, EX 的最大值为

480 . 所以 X 的数学期望 EX 的最大值为

480 12 分20.(12 分) (1)解:由椭圆 ? ?

2 2

2 2 :

1 0 x y C a b a b ? ? ? ? 可知C 的焦点在 x 轴上, 因为圆O与x轴的两个交点的坐标分别为? ? ? ? 1,0 , 1,0 ? ,与y轴的两个交点的坐标分 别为? ? ? ? 0,1 , 0,

1 ? , 根据题意,得1bc??1分故2222abc???2分所以椭圆C 的方程为

2 2

1 2 x y ? ?

3 分(2)解法 1:因为点 F 是C 的左焦点, 则??1,0 F ? . ①当1m?时, 圆O的切线l 的方程为

1 x ? , 此时, , A B的坐标为

2 2 1, , 1,

2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 则2AB ?

4 分点F到l 的距离为 d ?

2 , 所以 ABF 的面积为

1 2

2 S AB d ? ? ? ?

5 分 ②当

1 m ? 时, 设圆O的切线l 的方程为 ? ?? ?

0 y k x m k ? ? ? , 即0kx y km ? ? ? , 因为l 是圆O的切线, 则211km k ? ? , 即2221kmk??6分设????1122,,

,AxyBxy,6由??22,1,

2 y k x m x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去 y 得? ? ? ?

2 2

2 2

2 1

2 4

2 1

0 k x k mx k m ? ? ? ? ? , ? ? ? ?? ?

2 2

2 2

2 4

8 1

2 1 k m k k m ? ? ? ? ?

2 8

0 k ? ? , 则2122412kmxxk???,??221222112kmxxk???7分故??........