PDF《第五章》

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第五章 线性方程组直接解法 ― Gauss 消去法

2 内容提要 ? 矩阵基础知识 ? Gauss 消去法 ? 矩阵三角分解 ? 向量与矩阵范数 ? 误差分析

3 本讲内容 ? 向量与矩阵 ? 特征值与谱半径 ? 一些特殊矩阵 ? 矩阵基础知识 ? Gauss 消去法 ? 一般过程 ? 对应的矩阵三角分解 ? 列主元 Gauss 消去法

4 线性方程组直接解法 Ax b = 自然科学和工程计算中, 很多问题最终都 需要求解一个或多个线性代数方程组.

(1) 直接法: 适合低阶方程组或某些特殊大型稀疏方程组 ? 目前常用的数值求解方法: (2) 迭代法: 解大型稀疏线性方程组的主流算法 R , R n n n A b * ∈ ∈ 注:在本章中,我们总是假定 A 是n阶非奇异方阵.

5 预备知识 ? 向量与矩阵:定义,基本运算,行列式 ? 特征值与特征向量,特征多项式,特征方程,矩阵相似 ? 矩阵的谱: { } ( ) max ( ) A A λ σ λ ρ ∈ = σ (A) = { A 的所有特征值 } ? 矩阵的迹: ? 矩阵的谱半径:

11 22 tr( ) nn a a A a = + + + ? Ax x λ = ( , , 0) n C x C x λ ∈ ∈ ≠

6 ? AT 与A有相同的特征值,但特征向量不同 ? A-1 的特征值与特征向量 ? 矩阵的迹与特征值 ? 矩阵行列式与特征值 ? 相似矩阵的特征值与特征向量 矩阵基本性质

1 1 Ax x A x x λ λ ? ? = ? =

1 2 tr( ) n A λ λ λ = + + + ?

1 2 det( ) n A λ λ λ = ?

7 一些特殊矩阵 ? 对角矩阵、三角矩阵、三对角矩阵 ? 对称矩阵、Hermite 对称矩阵、对称正定矩阵 ? 正交矩阵、酉矩阵 ? 初等置换阵、置换阵(排列阵) ? 上Hessenberg 矩阵

11 12

13 1

21 22

23 2

32 33

3 ,

1 n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

0 for

1 ij a i j = > +

8 一些重要性质 定理 1(解的存在唯一性) Ax = b 存在唯一解 det(A) ≠

0 A 可逆 Ax =

0 只有零解 A 满秩,即A的秩为 n

9 一些重要性质 定理 2(对称正定矩阵的性质) 若A对称正定,则(1) A 非奇异,且A也对称正定;

(2) A 的所有顺序主子矩阵都对称正定;

(3) A 的所有特征值都是正实数;

(4) A 的所有顺序主子式都大于 0. 定理 3(对称正定矩阵的判定) (1) 若A对称,且所有顺序主子式都大于 0,则A对称正定. (2) 若A对称,且所有特征值都大于 0,则A对称正定.

10 一些重要性质 定理 4(Jordan 标准型) 设A∈????*??,则存在非奇异矩阵 X,使得

1 1

2 2

1 ( ) ( ) ( ) r r J J X AX J λ λ λ ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? 其中 为Jordan 块,且1()R1iiiinniiiJλλλλ*??????=∈????????1riinn==∑11 Gauss 消去法 例:用直接法解线性方程组

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3 1

2 3

1 2

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2 3

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3 x x x x x x x x x ? + = ? ? ? ? ? = ? ? + + = ? 解:

1 2

2 2 ( , )

2 3

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4 1

6 3 A b ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?

6 1

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0 2

1 2

8 0

0 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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2 2

0 0

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 1 x = ?

2 3

8 7

1 x x =+ =

1 2

3 2

2 2

2 x x x =? + ? =

12 Gauss 消去法 ? 高斯消去法的主要思路: 将系数矩阵 A 化为上三角矩阵,然后回代求解

11 1

12 2

1 1

21 1

22 2

2 2

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2 2 ... ... ... n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = ? ? + + + = ? ? ? + + + = ? ? ? ? ? 考虑 n 阶线性方程组: Ax b = 矩阵形式 =

13 Gauss 消去法 依次将增广矩阵的 第i行-mi1 * 第1行,得(1)

11 0 a ≠ (1) (1)

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