PDF《第一章 数论知识》

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第一章 数论知识

第一节 数的整除特性

二、整除思想题型 【例1】【答案】B.

解析:根据

3 的整除特性,四个选项中各位数字之和分别为 5N、3N、2N、 3N,其中不管 N 为多少,3N 都能被

3 整除,因此排除 AC 项,再根据

5 的整除特性,尾数一定为

0 或者 5,因此选择 B. 【例2】【答案】B.解析:根据后来调来女性若干人,女性人数恰好是总人数的 40%,可知 总人数是

5 的倍数.结合选项只有 B 选项加上原来的

48 人是

5 的倍数. 【例3】 【答案】B.解析:此算式不可能在

1 分钟内计算完成,再观察选项,没法使用尾数法, 最后观察原式子,所加的每个部分都能被

3 整除,所以式子肯定能被

3 整除.答案选 B.

三、考点训练 1.【答案】C.解析:由于这个四位数能被

72 整除,则这个四位数能被

8 和9整除.该四位数 能被

8 整除,则后三位数能被

8 整除,排除 B、D 两项.能被

9 整除,则该四位数各位数字加起来 需能被

9 整除,排除 A 项.因此只能选择 C. 2.【答案】B.解析:方法一,由题意可知,总人数减去

1 后能被

22 整除,排除 C、D 项.将A项代入,总人数为

441 人,每组

22 人,多出一人未分进组,可分(441-1)÷22=20 组,若少分一 组,441 不能被

19 整除,不满足题意,故选 B. 方法二,少分一组时,需要将 22+1=23 人平均分到所分组中.所以该群学生共分了

23 组,每组23 人,所求为

2 23 =529. 3.【答案】B.解析:根据题意,员工总数减去

4 后可以被

9 整除,只有选项 B 满足. 4.【答案】A.解析:根据 再买进

8 筐则每个部门可分得

10 筐 可知,总筐数加上

8 能被

10 整除,排除 B、C;

代入 A,共有(192+8)÷10=20 个部门,每个部门开始时分(192-12)÷20=9 筐, 符合题意,选A. 5.【答案】B.解析:方法一,原拥有中级及以上职称人员所占比例为 62.5%=

8 5 ,又评了

2 名 中级职称后变为

11 7 ,单位总人数为 2÷(

11 7 -

8 5 )=176,则原在中级以下职称的人员为 176*(1-

8 5 ) =66 名,故答案选 B. 版权所有 翻印必究

2 中公教育学员专用资料 报名专线:400-6300-999 方法二,原来中级以下的占 1-62.5%=

8 3 ,后来中级以下的占 1-

11 7 =

11 4 ,最初中级以下的人数 能被

3 整除,排除 A、C;

最初中级以下的人数减

2 后能被

4 整除,排除 D,选B. 6.【答案】C.解析:根据题中比例关系,可得出土地局∶地税局∶国税局=30∶9∶25,所以土 地局有 30*(50÷25)=60 人参加. 7.【答案】A.解析:已知甲派出所的刑事案件占 17%=

100 17 ,乙派出所的刑事案件占 20%=

5 1 . 甲、乙两派出所共受理案件

160 起,根据整除特性可知甲派出所受理案件总数是

100 的倍数,故只 能为 100,所以乙派出所受理案件总数为 60,则乙派出所在这个月中共受理的非刑事案件数为 60*

5 4 =48 件. 8.【答案】B.解析:方法一,每个汉堡包成本为 4.5 元,利润为

6 元,都可以被

3 除尽,则要 求的总利润也可以被

3 除尽,选项中只有 B 项可以被

3 除尽. 方法二,常规解法.这十天中,卖出汉堡包 200*10-25*4=1900 个,每个可以赚 10.5-4.5=6 元, 共赚 1900*6=11400 元.未卖出汉堡包 25*4=100 个,每个亏损 4.5 元,共亏损 100*4.5=450 元.因 此这十天共赚 11400-450=10950 元.

第二节 余数问题

一、余数基本理论 【例1】【答案】D.解析:被除数是 54*3+7=169,169÷45=3……34,正确的商和余数之和是 3+34=37. 【例2】【答案】-5.解析:16÷7=2……2, 16÷7=3……-5

二、同余定律 【例1】【答案】4.解析:甲数加上乙数的和除以

7 的余数为甲、乙两数分别除以

7 的余数的 和,即6+5=11,11 里面又有一个 7,所以最后它们的和除以

7 的余数就是 11-7=4. 【例2】【答案】1.解析:甲÷7 余6;

乙÷7 余5?(甲-乙)÷7=(6-5)÷7=1÷7,余1. 【例3】【答案】D.解析:(191919+n)(191919+n)=191919*191919+2*191919n+n

2 , 191919*191919 能被

19 整除,2*191919n 也能被

19 整除,所以 n

2 除以

19 的余数是 6,5

2 =25, 25÷19=1……6,所以 n=5,5 除以

19 的余数是 5. 版权所有 翻印必究

3 中公教育学员专用资料 报名专线:400-6300-999 【例4】【答案】星期天,星期天,星期一.解析:1988÷7=284,所以再过

1988 天是星期天;

根据同余定理,多个数乘积的余数决定于多个余数的乘积.所以,再过

1986 1988 天是星期天;

已知 1989÷7=284……1,所以

1986 1989 除以

7 的余数也为 1,故所求为星期一.

三、中国剩余定理 【例1】【答案】C.解析:符合题意的数应是 7,6,5 的公倍数加 2,所有这样的数可表示为 210n+2(n 为大于等于

0 的整数),当n取1,2,3,4 时,这个数是三位数,故符合条件的 P 有4个. 【例2】【答案】253.解析:从题干可知,两次除法中除数与余数的和均为 13,根据剩余定理 中 和同加和 ,被除数可表示成 60n+13,又知被除数大于

200 小于 300,故n=4,蟠桃总数为 60*4+13=253 个. 【例3】【答案】B.解析:方法一,设这个数为 P,P 除以

11 余8,则P+3 是11 的倍数;

P 除以

13 余10,则P+3 是13 的倍数.综上,P+3 是

11、13 的公倍数,已知

11、13 的最小公倍数为 143,那么在小于

200 的数中,P 的值为 140. 方法二,代入排除法.选项中只有 B 满足. 【例4】【答案】A.解析:方法一,八八数时还缺三,说明所求数满足被

8 除余 5,满足该条 件的最小数为 5,在5的基础上每次都加

8 直到满足能被

7 整除,5+8+8=21,21 恰好也能满足被

5 除余 1,故彩灯至少

21 盏. 方法二,题干说明灯的数目能被

7 整除,被5除余数为 1,被8除余数为 5.结合选项运用整除 特性,直接选择 A.

四、考点训练 1. 【答案】 1000, 88. 解析: 方法一, 因为甲=乙*11+32, 所以甲+乙=乙*11+32+乙=乙*12+32=1088, 则乙=(1088-32)÷12=88,甲=1088-乙=1000. 方法二,将余数先去掉变成整除问题,利用倍数关系来做:从1088 中减掉

32 以后,即1056 就应当是乙的 11+1=12 倍,所以乙=1056÷12=88,甲=1088-乙=1000. 2.【答案】B.解析:余数 b 最大为 42,最大的三位数为 999.999÷43=23……10,但23+1083.25,又因为总人数能被

5 整除,故n的尾数只能是

2 和7,因此n最小取 87,所求为 12*87+1=1045 人. 6. 【答案】 D. 解析: 由题意可知女工人数 除以

6 余5, 除以

7 余1 . 设6m+5=7n+1, 则6m+4=7n, 6m+4 为7的倍数,m 最小为 4,故满足 除以

6 余5,除以

7 余1 的最小数是 29.女工人数可表 示为 29+42x,女工人数超过 100,最小为 29+42*2=113.113÷4=28……1,需要

29 个房间.

第三节 数的奇偶性

二、例题精讲 【例1】【答案】C.解析:1983 是奇数,1982x 是偶数,则1981y 为奇数,则y为奇数,排除 A 和B,利用尾数可知,选C. 【例2】【答案】A.解析:根据题意列出方程 3A+2B=114.可知 3A 必然为偶数,所以 A 为 偶数. 【例3】【答案】A.解析:两数之差为奇数,所以两数之和也是奇数.所以选 A.

三、考点训练 1.【答案】B.解析:因为 x,y,z 是三个连续的负整数,且x>

y>

z,所以 x-y=1,y-z=1,从而 (x-y)(y-z)=1,1 为正奇数,故选择 B. 2.【答案】D.解析:周长为偶数,其中的两边长为偶数,则第三条边长也为偶数,根据两边之 和大于第三边,两边之差小于第三边,得第三条边长是满足 1990c>

d, a+b+c+d=25, a=b+c,b=c+d.则a+2b=25,由于

25 为奇数,2b 为偶数,所以 a 为奇数,排除 B、D 两项.将A版权所有 翻印必究

5 中公教育学员专用资料 报名专线:400-6300-999 项代入,则b=(25-9)÷2=8,c=a-b=9-8=1,不可能大于 d,排除.可直接选 C.将C项代入,可求 得b=7,c=4,d=3,符合. 6.【答案】A.解析:奇数个奇数的和才为奇数,由此排除选项 B、C;

51 个不同奇数的和至少 是251 =2601>

2359,由此排除 D,选择 A.

第四节 质数、合数及拆分

二、例题精讲 【例1】【答案】36.解析:1440=

5 2 *

2 3 *5,正约数个数为:(5+1)*(2+1)*(1+1)=36 个. 【例2】【答案】D.解析:1152=

7 2 *

2 3 ,其正约数个数为:(7+1)*(2+1)=24 个,所以 有24÷2=12 种不同的拼法. 【例3】 【答案】30.解析:质因数分解 3024=

4 2 *

3 3 *7,由此可知这四个数分别为

6、

7、

8、 9.6+7+8+9=30.

三、考点训练 1.【答案】B.解析:由于

33 为奇数,根据奇偶性可知,这两个质数中一定有一个为偶数,即 为最小的质数 2,则另一个为 33-2=31,故答案为 31-2=29. 2.【答案】A.解析:1080=36*30,30 不能再分解出完全平方数,所以 a 的最小值是 30,A 正确. 3.【答案】A.解析:144=2*2*2*2*3*3,小张和小李记下的号码为 1~10 中的三个,则只能是 2,8,9 和3,6,8.2+8+9=19,3+6+8=17,则所求为 19,选A. 4.【答案】A.解析:方法一,考虑将

144 分解为两个正整数的乘积,并使它们的和比

28 略大. 144=6*24=8*18=9*16,可知这两个数应是

6、22,小明将

22 错看成了 24,22-6=16. 方法二,设这两个数为 X、Y,小明把较大的数字个位数错看成一个更大的数,故有 X*Y

144 4 -

282 ? =

208 >

14.故只有 A 满足条件. 5.【答案】B.解析:依题意,当楼层数为选手编号数的约数时,可得一个特别号码.则本题问 题本质是,求1~50 的整数中有且只有

3 个约数的数有几个.所有整数中,完全平方数的约数个数 为奇数,其他整数的约数个数为偶数.1-50 中的完全平方数有

1、

4、

9、

16、

25、

36、49,其中有 且只有

3 个约数的是

4、

9、

25、49,故本题答案选 B. 版权所有 翻印必究

6 中公教育学员专用资料 报名专线:400-6300-999 6.【答案】B.解析:92=2*2*23,故其约数有

1、

2、

4、

23、

46、92,共6个,即有

6 人向罐 子中倒水,有6毫升水.

第五节 基本公式

一、等差数列 【例1】【答案】A.解析:(102+200)*50÷2=7550. 【例2】【答案】B.解析:因为等差数列? ? n a 前5项和是 25,所以

3 a =5,所以公差为 2,可知7a=13

二、等比数列 【例1】【答案】A.解析:根据等比数列的性质,

2 3

4 2 a a a ? ? ,

2 5

6 4 a a a ? ? ,所以

6 4

5 3

4 2

2 a a a a a a ? ? ? ? ? =

2 5

5 3

2 3

2 a a a a ? ? ? =

2 5

3 ) ( a a ? =25,又因为 n a >

0,故53aa?>

0,即53aa?=5,选择 A. 【例2】【答案】C.解析:1 个细菌经过

2 小时(120 分钟)可以充满瓶子,细菌数量是等比 增长的,经过

1 分钟分裂成

2 个,因此在

119 分钟时,瓶子里的细菌占瓶子容量的一半,所以将

2 个这种细菌放入瓶子里,经过

119 分钟可充满瓶子.

三、裂项运算 【例1】【答案】

33 8 .解析:原式=

1 1

1 1

1 1

1 1

8 3

4 4

5 10

11 3

11 33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例2】 【答案】

17 8 .解析:原式=

1 1

1 1

1 1 1........