PDF《明天还会出太阳吗？》

2 . 堪称奇迹的是,引入的不定的数字 m 在最终的结果里消失了!我们可以先验证明 这一点吗?现在只需要证明(5) .我们从这个简洁的恒等式开始 x + i x ? ? ? ? ? ? = x ?1+ i x ?1 ? ? ? ? ? ? + x ?1+ i x ? ? ? ? ? ? (7)

4 I. Todhunter: A History of the Mathematical Theory of Probability, MacMillan Co. 1865. 数学文化 第7卷第2期2016

30 athematics Education 数学教育 M 这在范恩的书里第

404 页有提到,同时提到的还有一个整齐简洁的计数论证(不要用 愚蠢的计算来破坏它!) .通过重复(归纳)可得 x + i x ? ? ? ? ? ? = x ?1+ j x ?1 ? ? ? ? ? ? j=0 i ∑ . (8) 现在我们将(8)代入(5)从而将这个简单的求和转换成二重求和或累次求和, 然后颠倒求和的次序,再次利用(8)将这个颠倒后的累次求和化简为一个简单的求和. 从而 (5) 左边的和式等于 x ?1+ j x ?1 ? ? ? ? ? ? j=0 i ∑ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i=0 z ∑ y + z ? i y ? ? ? ? ? ? = x ?1+ j x ?1 ? ? ? ? ? ? j=0 i ∑ i=0 z ∑ y + z ? i y ? ? ? ? ? ? = x ?1+ j x ?1 ? ? ? ? ? ? i= j z ∑ j=0 z ∑ y + z ? i y ? ? ? ? ? ? = x ?1+ j x ?1 ? ? ? ? ? ? j=0 z ∑ y + z ? i y ? ? ? ? ? ? i= j z ∑ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = x ?1+ j x ?1 ? ? ? ? ? ? j=0 z ∑ y +1+ z ? j y +1 ? ? ? ? ? ? . 最后所得的求和不过是将(5)中第一个求和中的 (x, y) 用(x - 1, y + 1) 代替.继续这 个过程,原始的 (x, y) 就成了 (0, y + x),相应的求和就是

0 + i

0 ? ? ? ? ? ? i=0 z ∑ y + x + z ? i y + x ? ? ? ? ? ? = y + x + z ? i y + x ? ? ? ? ? ? i=0 z ∑ . 利用 (8) , 该式就与 (5) 的右边相等了.豁然开朗了!我们为自己的方法感到特别高兴, 并将此命名为层蜕法. 我们将我们的结果告诉给毛路真

5 老师,他当时是在我的家乡杭州的浙江大学任 教的一个讲师.他发现在托德亨特(Isaac Todhunter)的历史

4 (第454 页)中,普雷 沃斯特(Pierre Prévost)和吕利耶(Simon A. J. L'

Huillier)已经利用箱子模型证明了 拉普拉斯的日出定理.拉普拉斯没有这样做,而是采取了一个简单的方法――假设作 为密度

0 ≤ p ≤

1 的先验概率的连续性,然后计算一个积分.这在

6 (第123 页)中有相 关阐述,文献

7 给出了与此有关的变体.

1936 年,刘和我都考进了北平(北京的旧称)清华大学.他是破格录取,因为他

5 毛路真(1904-1961),数学家,又名信桂,浙江奉化人.1927 年毕业于武昌中山师范大学(武汉大 学)数学系,后任浙江大学教授、数学力学系主任.与陈建功合编过《高中代数学》.

6 K. L. Chung: Elementary Probability Theory with Stochastic Processes, Third Edition, Springer Verlag, 1979. 钟开莱的这本书是斯普林格出版的本科生数学丛书(UTM)第4号丛书,有中译本,《初等概 率论附随机过程》,魏宗舒等译,人民教育出版社,1979 年.

7 W. Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Third Edition, Wiley &

Sons, 1968. 有 中译本,威廉 ? 费勒:《概率论及其应用》,胡迪鹤译,人民邮电出版社,2014 年. ........