PDF《习题参考解答》

习题参考解答 5.

1 数值分析引论 1.1 设x>

0, x 的相对误差是 δ, 求ln x 的误差. 解. 设?x是x的近似值, 相对误差满足 x?? x ? x ≤ δ. 所以 ε(? x) = |? x|δ. 设f(x) = ln(x), 则ε(f(? x)) ≈ |f′ (? x)|ε(? x) =

1 ? x ・ |? x|δ = δ. % 本题计算的是误差限 1.2 设x的相对误差为 2%, 求xn 的相对误差. 解. 设?x是x的近似值, 相对误差 εr(? x) = 2%. 设f(x) = xn , 则εr(f(? x)) ≈ Cpεr(? x), 其中 Cp 是f(x) 的条件数, 即Cp = xf′ (x) f(x) = x ・ nxn?1 xn = n. 所以 εr(f(? x)) ≈ nεr(? x) = 0.02n. % 本题计算的是误差限 1.3 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数, 即误差限不超过最后一位的半个单位, 试指出它们是几 位有效数字. ? x1 = 1.1021, ? x2 = 0.031, ? x3 = 385.6, ? x4 = 56.430, ? x5 =

7 * 1.0 解. ? x1 = 1.1021 有5位有效数字;

? x2 = 0.031 有2位有效数字;

? x3 = 385.6 有4位有效数字;

? x4 = 56.430 有5位有效数字;

? x5 =

7 * 1.0 有2位有效数字. % ? x5 中的

7 表示整数, 不考虑舍入误差, 否则就只有

1 位有效数字. 1.4 利用公式 (2.3) 求下列各近似值的误差限: (1) ? x1 + ? x2 + ? x4;

(2) ? x1 ? x2 ? x3;

(3) ? x2/? x4;

109 ・

110 ・ 第四讲 数值积分与数值微分 其中 ? x1, ? x2, ? x3, ? x4 均为第

3 题所给的数. 解. 由第

3 题可知, ε(? x1) = 0.5 * 10?4 , ε(? x2) = 0.5 * 10?3 , ε(? x3) = 0.5 * 10?1 , ε(? x4) = 0.5 * 10?3 . 所以 ε(? x1 + ? x2 + ? x4) ≤ ε(? x1) + ε(? x2) + ε(? x4) = 1.05 * 10?3 ;

ε(? x1 ? x2 ? x3) ≤ |? x2 ? x3|ε(? x1) + |? x1 ? x3|ε(? x2) + |? x1 ? x2|ε(? x3) ≈ 0.215;

ε(? x2/? x4) ≤ |? x4|ε(? x2) + |? x2|ε(? x4) |? x4|2 ≈ 0.89 * 10?5 . % 对乘积和商使用误差估计公式时, 不要遗漏绝对值! 1.5 计算球体积, 要使相对误差限为 1%, 问半径 R 所允许的相对误差限是多少? 解. 计算球体积公式为 f(R) =

4 3 πR3 , 其条件数为 Cp = Rf′ (R) f(R) = R ・ 4πR2

4 3 πR3 = 3. 设?R是R的近似值, 则εr(f( ? R)) ≈ Cpεr( ? R) = 3εr( ? R). 要使得 εr(f( ? R)) = 1% = 0.01, 度量半径 R 时所允许的相对误差限是 εr( ? R) ≈

1 3 εr(f( ? R)) ≈ 0.0033. 1.6 设Y0 = 28, 按递推公式 Yn = Yn?1 ?

1 100 √ 783, n = 1, 2, . . . 计算到 Y100. 若取 √

783 ≈ 27.982(5 位有效数字), 试问 Y100 将有多大误差? 解. 设?a=27.982 是a=√783 的近似值, 则ε(? a) ≤ 0.5 * 10?3 . 令?Yn 是Yn 的近似值, 由递推公式可知 ? Yn ? Yn = ? Yn?1 ? Yn?1 ?

1 100 (? a ? a). 所以 ε( ? Yn) = ε( ? Yn?1) + ε(? a) = ε( ? Yn?2) +

1 100 ε(? a) +

1 100 ε(? a) = ε( ? Yn?2) +

2 100 ε(? a) = ・ ・ ・ = ε( ? Y0) +

100 100 ε(? a) = ε( ? Y0) + ε(? a). 5.1 数值分析引论 ・

111 ・ 由于 ? Y0 =

28 = Y0, 故ε( ? Y0) = 0. 因此 ε( ? Yn) = ε(? a) ≤ 0.5 * 10?3 . % 需要考虑每一步递推过程中

1 100 √

783 的舍入误差的积累, 不能使用 ? Yn ? Yn = ? Yn?1 ? Yn?1 Y1 ? Y1 = ? Y0 ? Y0 =

0 (Y0 是整数) 1.7 求方程 x2 ? 56x +

1 =

0 的两个根, 使它至少具有

4 位有效数字. ( √

783 ≈ 27.982) 解. 由求根公式可知, 方程的解为 x1,2 =

56 ± √

562 ?

4 2 =

28 ± √ 783. 所以 x1 =

28 + √

783 ≈

28 + 27.982 = 55.982, 具有

5 位有效数字. x2 =

28 ? √

783 =

1 28 + √

783 ≈

1 28 + 27.982 ≈ 1.7863 * 10?2 , 具有

5 位有效数字. 1.8 当x≈y时计算 ln(x) ? ln(y), 有效数字会损失. 改用 ln(x) ? ln(y) = ln x y 是否能减少舍入误差? (提示: 考虑对数函数何时出现病态) 解. 设f(t) = ln(t), 则其条件数为 Cp = tf′ (t) f(t) = t ・