PDF《科别：数学科》

科别:数学科组别:国中组作品名称:从「4=3」的图形数谈起 关键词: 「4=3」切割法、最佳分数、误差估计 编号:030407 学校名称: 高雄市立三民国民中学 作者姓名: 黄宝琏、王贞之、邱绢e、卢致宇 指导老师: 蔡震珊、黄昭

1 作品摘要:从 4=3 图形数谈起 在一次五子棋的厮杀中,为了避免弟妹干扰玩耍的兴致,因此随便抓了一 把棋子让他们玩玩,没想到他们用了相同多的棋子,排成了三角形与四边形的 图形.

我们觉得蛮有趣的,因此我们想到一个研究的问题: 「在移动最少棋子的 条件限制下,将三角形数移成平行四边形数」 .我们称这一个方法为「4=3 切割 法」 ,运用这个切割法的结论我们知道:

一、 所有的三角形数皆等於平行四边形数(合数).

二、 「三角形数=菱形数」等价於「 ( ) = +

2 1 n n 完全平方数」的问题,而且 在一亿个 n 值当中,只有

10 个数值满足「三角形数=菱形数」 .

三、 求2的有理逼近分数并估计误差.

四、 比较 「4=3 切割法」 所求逼近

2 的分数与连分数展开所计算的分数, 展现有趣的关系. 综合这些性质,我们发现研究主题皆与

2 息息相扣,在此不得不赞叹 「数」的美妙.

2 【从 4=3 的图形数谈起】 壹、研究动机: 在一次五子棋的厮杀中,为了避免弟妹干扰玩耍的兴致,因此随便抓了一把棋子让 他们把玩,没想到他们用了同样多的棋子,排成了正三角形,然后又移动棋子排成了平 行四边形(第四册『几何图形』 ) .突然灵感一来: 「这种图形的转换可能和因数分解(第 一册)有关,若再配合数的性质探讨如:质数、合数、完全平方数(第一册与第三册) 可能就是解开这个问题的方向」 .於是我们展开了奇妙的 4=3 的数学世界. 贰、研究目的:

一、从「4=3」的图形数转换,定义「4=3」切割法并证明.

二、利用「4=3」切割法,求解「 ( ) = +

2 1 n n 完全平方数」的问题.

三、运用「4=3」切割法,找2的有理逼近分数.

四、运用「4=3」切割法,找2的有理逼近分数并估计误差.

五、比较「4=3」切割法计算

2 」与「连分数展开计算

2 」 ,所得数列的关系.

六、找其他逼近

2 的有理数列,并证明电脑所提供的资讯. 参、研究过程:

一、从「4=3」的图形数转换,定义「4=3」切割法并证明. 定义「4=3」切割法:在移动最少个数的条件下,将三角形数切割重排成平行四边形数 的图形,称为「4=3」切割法.我们一开始的动机就是要找移动个数最少的规律,我们 令n为三角形数边长个数,从n=3~50 开始,透过实做收集资料.因为老师说啊…数学 就是不断观察产生的喔!下表中绿色为移动的棋子,蓝色为保留不动的棋子,我们利 用因数分解得出结果,并将部分列於下表: (表一) n 值 原图形(三角形数) 移动结果(平行四边形数=宽*长) 最少移动个数

3 (6=2*3) ∑ =

1 1 i i =1

4 ∑ =

2 1 i i =3 B BB BBB B BB BBB BBBB BBB BBB BBBBB BBBBB (12=2*6)

3 n 值 原图形(三角形数) 移动结果(平行四边形数=宽*长) 最少移动个数

5 ∑ =

2 1 i i =3

6 (21=3*7) ∑ =

3 1 i i =6 ∑ =

5 1 i i =15

7 (28=4*7) ∑ =

3 1 i i =6 B BB BBB BBBB BBBBB B BB BBB BBBB BBBBB BBBBBB B BB BBB BBBB BBBBB BBBBBB BBBBBBB B BB BBB BBBB BBBBB BBBBBB BBBBBBB (28=2*14) BBBBB BBBBB BBBBB BBBBBBB BBBBBBB BBBBBBB BBBBBBB BBBBBBB BBBBBBB BBBBBBB (15=3*5)