PDF《2017 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 （A 类）》

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2017 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)

一、单项选择题(每小题

3 分,共15 分) 1.

已知函数 ,则()(A) ;

(B) ;

(C) ;

(D) . 2. 设函数 在点 的某邻域内有定义,且,,

则 ( ) (A) ;

(B)曲面 在点 的法向量为 ;

(C)曲线 在点 的切向量为 ;

(D)曲线 在点 的切向量为 . 3. 曲线 , , 在 处的法平面方程是 ( ) (A) ;

(B) ;

(C) ;

(D) . 4. 设常数 ,平面闭区域 , ,则()(A) ;

(B) ;

(C) ;

(D) . 5. 已知函数 在点 的某个邻域 内有定义. 对于下列两个命题 (I)若 在点 连续,且 ,则 在点取到极大值;

(II) 若在 中和均存在, 且极限 和 也均存在,则;

下列选项正确的是 ( ) (A)仅(I)正确;

(B)仅(II)正确;

(C) (I)和(II)都正确;

(D) (I)和(II)都错误.

二、填空题(每小题

3 分,共15 分) 6. 设函数 可微,且 ,则 在点 处的全微分 7. 已知 是单位向量,且函数 在点 处的方向 导数沿 方向取到最大值,则

2 8. 函数 在条件 下的最小值为: 9. 10. 设平面区域 由直线 , , 和 所围成,则

三、求极限(本题

8 分) 11. 求二重极限 .

四、导数计算(第12 题10 分,第13 题8分,共18 分) 12. 设函数 , 其中 具有二阶连续偏导数, 和 具有连续的二阶导数,求,.13. 已知函数 存在极小值,求常数 的取值范围.

五、积分计算(第14 小题

8 分,第15 小题

10 分,共18 分) 14. 计算二重积分 ,其中 , 函数 在闭区间 上具有连续的二阶导数. 15. 计算 ,其中 .

六、应用题(第16 小题

10 分,第17 小题

8 分,共18 分) 16. 设函数 连续且恒正, ,其中 , , 试判断在上的单调性. 17. 已知平面薄板所占的区域 由和所围成, 其上各点处的面密度为 ,求该平面薄板的质心.

七、证明题(本题

8 分) 18. 设在 点的某个邻域 中函数 与 均有定义.若 存在, 在 点可微,且 ,其中 , 证明: 函数 在 点也可微.