PDF《不可测集有多复杂？》

不可测集有多复杂? 郝兆宽 复旦大学哲学学院 上海,2013 年10 月16 日.

..... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. 绪论:连续统假设的相对独立性 数学问题:X 是勒贝革可测的吗? "哲学"问题:集合论与大基数 对话:数学的还是哲学的? . . . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. 康托的连续统问题 连续统假设 CH 对任意实数的无穷子集 X ? R,X 的基数或者与 自然数 N 相等,或者与 R 相等. 连续统问题 CH 是真的吗? . . . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. 无穷基数的序列和 GCH ? N 的基数是最小的无穷,令其为 ?0,大于 ?0 的最小基数为 ?1,这样,我们有: ?0, ?1, ?2,α, ? 容易证明 |R| > |N|,且|R| = 2?0 ,所以 CH 等价于 2?0 = ?1. ? 所谓广义连续统假设是: 对任意序数 α,2?α = ?α+1 . . . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. 作为数学基础的 ZFC(I) 策梅罗-弗兰克系统(ZF) : ? 空集:空集 ? 是集合;

? 外延:?x(x ∈ a ? x ∈ b) ? a = b;

? 分离:任给 X,Y = {x ∈ X | φ(x)} 是集合;

? 对集:任给 a, b,{a, b} 是集合;

? 并集:任给 X, ∪ X 是集合;

? 幂集:任给 X,P(X) 是集合;

? 无穷:存在一个无穷集合;

? 替换:任给 A,f [A] 是集合;

? 基础:任意非空 x 包含 a ∈ x,使x∩a=?. . . . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. 作为数学基础的 ZFC(II) 选择公理 AC 如果 F 是非空集合的族,则存在一个集合 S,S 与F中的每个元素相交都是单点集. ZFC ZFC=ZF+AC. ZFC 是数学基础 φ 是数学定理的意思是:φ 是ZFC 的定理. . . . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. 连续统假设的独立性 定理. (G?del,1938) CH 的否定不是 ZFC 的定 理. 定理. (Cohen,1963) CH 不是 ZFC 的定理. . . . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . 连续统问题有数学意义吗? Cohen:连续统问题没有数学意义 因为它和它的否定都不是数学定理. G?del:连续统问题有数学意义 因为它关乎数学世界的一个事实,必定或者为真, 或者为假. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . 连续统涉及"实数的任意子集" 有些数学家和哲学家认为, "实数的任意子集"这 一概念没有具体的意义,因为在数学中我们只关 心"可定义的实数子集" : 开集,闭集,波莱尔集,可测集,分析集, ・ ・ ・ 勒贝革可测 定义. 所谓外测度是一个函数 ?? : P(R) → R, ?? (X) = inf { ∑ i≥1 L(Ii) | | | (Ii)i≥1是X的开覆盖 } . 定义. 一个集合 X ? R 是可测的,当且仅当对任 意集合 T ? R,都有 ?? (T) = ?? (T ∩ X) + ?? (T ∩ (R ? X)). 而所谓勒贝革测度,就是外测度到全体可测集 M 上的限制,记为 ?. . . . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . 测度问题 问题:是否每个实数的子集都是可测的? 答:不是. 定理. 存在实数的子集 X ?∈ M. 证明:定义 x ? y 当且仅当 x ? y ∈ Q,则?是R上的等价关系.令S与每个等价类相交为单点 集. 实数的可定义子集――波莱尔集 定义. 令X?Rn ,则?开集:X 的每个点都是内点;

? 闭集:X 的每个极限点属于 X;

? 波莱尔集:X 可由开集通过可数多次并、交 或补运算得到. 波莱尔集是包含开集的最小的 σ 代数,即,包含 开集并且对补、 ∪ n∈N 和∩n∈N 运算封闭. . . . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . ... . ... . ... . .. . . . . .. . . . . . . ... . ... . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . 波莱尔集的谱系 Σ0

1 = 开集 Π0

1 = 闭集 Σ0

2 = Fσ Π0

2 = Gδ Σ0

3 = Gδσ Π0

3 = Fσδ 波莱尔集的族 B 可表示为: B = ∪ ξ