PDF《A.7 EOF分析》

2 N? λ是特征根,N? 是数据的有效自由度,这在前面相关系数分析中已经有介绍(见4 页相关内容).将λ按顺序依次检查,标上误差范围.如果前后两个λ之间误差范围 有重叠,那么他们之间没有显著差别. 图A.16是对1949 ? 2002年北半球1月平均海平面气压,做距平处理处理及面积 加权后进行EOF分析的结果.从特征根误差范围看,第一和第二模态存在显著差 别,第二和第三模态之间也存在显著差别.但是第三特征根和第四及以后的特征 根之间没有显著的差别.如果要分析主要的模态的话,最好只选择前三个进行分 析.

44 练习:利用[E,V]=eig(C)计算矩阵X的特征向量和主成分% X=[2

6 1

5 2;

9 4

0 5 4];

X(1,:)=X(1,:)-mean(X(1,:));

X(2,:)=X(2,:)-mean(X(2,:));

得到X的距平值:X= -1.20 2.80 -2.20 1.80 -1.20 4.60 -0.40 -4.40 0.60 -0.40 %%% co-variance matrix C=X*X'

/5;

协方差阵C= 3.76 0.92 0.92 8.24 [EOF,E]=eig(C);

% V: eigenvectors;

E: eigenvalues PC=EOF'

*X;

%% reverse the order E=fliplr(flipud(E)) lambda=diag(E);

% retain eigenvalues only EOF=fliplr(EOF) PC=flipud(PC) 得到EOF= 0.19 -0.98 0.98 0.19 得到特征根E= 8.42

0 0 3.58 得到主成分PC= 4.28 0.15 -4.74 0.94 -0.62 2.07 -2.82 1.31 -1.65 1.10 %%check EOF*EOF'

% = I 检查EOF的正交性得到: 1.00

0 0 1.00 PC*PC'

/5 % = lambda 检查PC的正交性得到: 8.42 0.00 0.00 3.58 EOF*PC % =X 可以完全恢复X的距平值: -1.20 2.80 -2.20 1.80 -1.20 4.60 -0.40 -4.40 0.60 -0.40

45 练习:利用[U,S,V]=svd(X)计算矩阵X的特征向量和主成分 X=[2

6 1

5 2;

9 4

0 5 4];

X(1,:)=X(1,:)-mean(X(1,:));

X(2,:)=X(2,:)-mean(X(2,:));

X的距平是: -1.20 2.80 -2.20 1.80 -1.20 4.60 -0.40 -4.40 0.60 -0.40 [U,S,V]=svd(X);

得到 U= 0.19 0.98 0.98 -0.19 S= 6.49

0 0

0 0

0 4.23

0 0

0 V= 0.66 -0.49 0.56 0.09 -0.06 0.02 0.67 0.63 -0.32 0.22 -0.73 -0.31 0.53 0.25 -0.16 0.14 0.39 0.03 0.91 0.06 -0.10 -0.26 -0.02 0.06 0.96 EOF=U;

PC=S*V'

;

得到PC= 4.28 0.15 -4.74 0.94 -0.62 -2.07 2.82 -1.31 1.65 -1.10 E=S.^2/5;

%=lambda E的数值与上面得到的特征根完全一样即E=: 8.42

0 0

0 0

0 3.58

0 0

0 EOF*PC % =X 可以完全恢复X的距平值: -1.20 2.80 -2.20 1.80 -1.20 4.60 -0.40 -4.40 0.60 -0.40

46 图A.16: 北半球1月海平面气压EOF分析的第一特征向量. (a)为特征根及95%信度 误差,(b)第一特征向量,(c)第一主成分,(d)第一主成分偏强+σ时海平面气压的 变化量(hPa).

1949 ? 2002,NCEP/NCAR再分析资料

47 结结结果 果 果展 展 展示 示示通常情况下,主成分是有单位的,即反映的是矩阵X的单位,而空间特征向量是 无量纲的.不过实际应用中常常对EOF分析得到的主成分和特征向量进行标准化 处理得到新的PC? 和EOF? PC? (k) = PC(k) √ λk EOF? (k) = EOF(k) λk 或者是简单地将PC标准化,使得其平均值为0,标准差为1.再将它与原始资 料矩阵X进行回归分析,这样就得到PC变化一个单位时,变量X对应的响应的 空间特征及其强度.这样得到的回归系数的空间分布与空间特征向量的分布特 征空间分布特征是相似的,但是回归系数可以看出相应的变化的数量大小.如图A.16(d). 空间模态应该与主成分配合进行分析.二者符号是相对应的. 分析中保留的模态的数目,没有严格规定,还取决于分析目的.一般取满 足North准则;

或者有明确物理意义. 数数数据 据 据性 性 性质 质 质与 与 与预 预 预处 处 处理 理理(1)误差 (2)资料的处理.原始场,距平场,与标准化场 例子:我国160站夏季降水量的EOF分析(图A.17) (3)空间样本点.大范围的空间数据,特别需要注意资料空间代表性.非均匀 场与均匀分布场;