PDF《State Key》

1 01,

0 ( )

0 0

1 0 n n k n k n h h c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 校验矩阵 行, 列???????????????????? ???????????????????? ? 校验矩阵的各行之间是线性无关的,即校验矩阵的行秩为 n C k,以校验矩阵的 k 行为基底 可张成 个k维线性子空间 n - k 行为基底,可张成一个 n - k 维线性子空间 校验矩阵 与任意 个码字之积为零 因此有 校验矩阵 H 与任意一个码字之积为零,因此有 T H G

0 17 2019/5/15 T ? ? H G

0 码的校验矩阵 例子:表1的[7, 3,

4 ]码(p.

52 ) 的4个校验元可由如下线性方程组求得 p )

3 6

5 4

1 1

0 1 c c c c ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 6

5 4

1 6

5 4

1 1

1 1

1 1

1 0 c c c c c c c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 6

5 4

0 6

5 4

1 0

1 1 c c c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此,校验矩阵为

1 0

1 1

0 0

0 1

1 1

0 1

0 0 ? ? ? ? ? ?

1 1

1 0

1 0

0 1

1 0

0 0

1 0

0 1

1 0

0 0

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? H

18 0

1 1

0 0

0 1 ? ? 2019/5/15 码的校验矩阵 Remarks ? 校验矩阵的各行之间是线性无关的,即校验矩阵的行秩为 n - k ? 校验矩阵的 n k 行为基底 可张成 个nk维线性子空间 ? 校验矩阵的 n - k 行为基底,可张成一个 n - k 维线性子空间 ? 任意一个合法码字 C 均满足 HCT=0T ? 交换校验矩阵的各列并不影响其纠错能力 校验矩阵和生成矩阵的关系 ? 校验矩阵 H 与任意一个码字之积为零 因此有 ? 校验矩阵 H 与任意一个码字之积为零,因此有 T T T T T m ? ? ? ? ? H C HG

0 HG

0 ? 校验矩阵 H 中各行张成的子空间的零空间即为生成矩阵 G 各行张成的子 空间.

19 2019/5/15 State Key Laboratory of Integrated Services Networks y y g

四、几个概念 ( pp.

57 C

58 ) ――对偶码、系统码和缩短码 2019/5/15

20 对偶码,系统码与缩短码 对偶码 对偶码 ? 设[n, k, d ] 线性分组码 C 的生成矩阵为 G,校验矩阵为 H,以H作为生成矩阵 G 为对应的校验矩阵 可构造另 个[ k d'

] 作为生成矩阵,G 为对应的校验矩阵,可构造另一个[ n, n - k, d'

] 线性分组码 C1,我们称 C1为C的对偶码 系统码 ? ? k ? G I P T n k ? ? ? ? ? ? ? H P I 缩短码 ? ? k n k ? ? ? 从[n, k, d ] 线性分组码的所有码字中,把前面 i 位全为零的码字 挑选出来构成一个新的子集,该子集即为 [ n, k, d ] 的缩短码.传挑来构成 个新 子集 子集即为 [ , , ] 缩短 传 输时,仅传输后面的 n - i 位码元,记为 [ n - i, k - i, d ] 码,其纠 错能力至少与原 [ n k d ] 码相同

21 错能力至少与原 [ n, k, d ] 码相同 2019/5/15 缩短码 例子: 例子: ? 表1的[7, 3,

4 ] 码:0000000,0011101,0100111,0111010, 1001110,1010011,1101001,1110100 ? [ 6, 2,

4 ] 缩短码为: 000000,011101,100111,111010 ? 原码和缩短码的生成矩阵分别为 ? ? ? ? ? ? ?

1 1

1 0

0 1 s G ? ? ? ? ? ? ?

1 1

1 0

0 1

0 0

1 1

1 0

0 1 G ? ? ? ? ? ?

1 0

1 1

1 0 s ? ? ? ? ? ?

1 0

1 1

1 0

0 1

1 1

0 0

1 0 G ? 去掉 G 的第一列第一行,就得到缩短码的生成矩阵 Gs

22 2019/5/15 缩短码 ?原码和缩短码的校验矩阵分别为 ?原码和缩短码的校验矩阵分别为 ? ?

0 0

0 1

1 0

1 ? ? ? ?

0 0

0 1

1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

0 1

0 0

0 1

1 0 0........