PDF《2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学》

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20 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学

一、选择题:本题共

12 小题,每小题

5 分,共60 分.

在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则()A. B. C. D. 【答案】 【解析】计算得 ,画数轴可得 ,故选 【点评】本题考查集合交集的应用,结合数轴图解,属简单题 2.设复数 满足 , 在复平面内对应的点为 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】设 ,则 ,即 ,故选 【点评】本题通过复数模的运算考查数形结合,对复平面坐标有一定理解 即可,属中等题 3.已知 , , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 , , ,且 ,因此 可得 ,选 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 【点评】本题考查指对数大小比较,借助单调性及常规中间值 与 即可, 属简单题 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长 度之比是 ( ,称为黄金分割比例) ,著名的 断臂维纳斯 便是如此. 此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比 也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 ,头顶至脖 子下端的长度为 ,则其身高可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为 ,肚脐至足底的长度为 ,依题意 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 可得 解得 , 则某人的身高约为 , 故选 B. 【点评】本题重点考察了黄金分割比例的性质,属于新定义型的概念理解 题,对文字转换要求较高,难度适中. 5.函数 在 的图像大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 , 为奇函数,图像关于原点对称,排除A选项;

,故答案选 D. 【点评】本题重点考查了函数图像性质,属于基础题,难度比较小. 6.我国古代典籍《周易》用 卦 描述万物的变换,每一 重卦 由从下 到上排列的 个爻组成,爻分别为阳爻 和阴爻 ,下图就是一 重卦,在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有 个阳爻的概率是( ) 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【点评】本题重点考查了排列组合以及概率统计基础知识,难度中等. 7. 已知非零向量 , 满足 ,且 ,则 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 , ,即,,

又 , , 为非零向量, 即,.故答案选 . 【点评】本题考查平面向量垂直的关系应用,以及平面向量数量积及其基 本运算,属于基础题. 8.右图是求 的程序框图,图中空白框中应填入( ) A. B. C. D. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 【答案】A 【解析】 输出 , 则由程序框图知, 空白框中应填入 满足要求,故答案选 A. 【点评】本题考查程序框图的识别,属于简单题. 9.记 为等差数列的前 项和,已知 , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 , 即;

,得,,

【点评】简单题,直接用公式即可得答案. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 10. 已知椭圆 的焦点为 , , 过 的直线与 交于 、 两点, 若,,

则 的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 设,由椭圆定义 , , 解得 , 所以,故为短轴顶点,在与中,由得,求得 ,则 ,故选 【点评】中等题.考察了椭圆的定义以及焦半径的长度关系,在焦点三角 形中表示边长进而用余弦定理来得到相关关系,属于比较常规的考法. 11.关于函数 有下述四个结论: ① 是偶函数 ② 在区间 单调递 增③在区间 有四个零点 ④ 的最大值是 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】 【解析】由函数偶函数的定义 ,可知 是偶函 数,故①正确;

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20 由 可得 ,且 是偶函数,图像关于 轴对称,画出函数图像,由图像可知 在区间 单调递减,故②错误;

图像与 轴有三个交点,故③错误;

答案选 . 【点评】本题重点考察了三角函数图像及其性质,属于难题. 12.三棱锥 的四个顶点在球 的球面上, , 是边 长为 的正三角形, 分别为 中点, , 则球 的体积为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题可知三棱锥 为正三棱锥,则,.为 则 ,又 分别为 中点,则 从而 , 且,所以 面,从而 , 易得 , 三棱锥可以看做正方体的一个顶点和相邻三个面的 面对角线构成的,则易得外接球半径为 ,从而体积为 【点评】本体主要考察几何体外接球问题,立体图形转换,难度较大.

二、填空题:本题共

4 小题,每小题

5 分,共20 分. 13.曲线 在点 处的切线方程为______. 【答案】 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 【解析】 【点评】本题重点考察 类型的导数求导,以及导数的切线方程,属于基 础题. 14.记 为等比数列 的前 项和,若,,

则 ______. 【答案】 【解析】 , , 【点评】本题重点考察等比数列前 项和及等比数列的计算,属于基础题. 15.甲、乙两队进行篮球比赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时, 该队获胜,决赛结束) ,根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为 主 主客客主客主 ,设甲队主场获胜的概率为 ,客场取胜的概率为 ,且 各场比赛结果互相独立,则甲队以 : 获胜的概率是 ______. 【答案】 【解析】由题可知,要使甲队以 : 获胜的话共需进行五场比赛,且前四 场有一场是乙获胜,则甲队以 : 获胜的概率为 【点评】本题属难题,考点是随机事件的概率问题,与以往的考题相比, 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 无大变化,考生可进一步强化该知识. 16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ,过的直线与 的两条渐近线分别交于 、 两点.若,,

则 的离心率为______. 【答案】 【解析】因为 ,所以 为 中点, 为 中点,所以 ,所以 ,所以 为等腰三角形, 为底 边中线,所以 ,根据双曲线性质, ,所以 ,所以 , 点评:本题属于圆锥曲线中双曲线的渐近线与向量的相关知识结合,重点 要理解向量的基本意义,属于中等题目.

三、 解答题: 共70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 第17-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23 题为选考题,考生根据要 求作答.

(一)必考题:共60 分. 17. (12 分) 的内角 , , 的对边分别为 , , , 设.(1)求;

(2)若 ,求 . 【答案】 (1) ;

(2) 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 【解析】 (1)由题意可知: , 由正弦定理 ,得,由余弦定理得: , , ;

(2)由正弦定理可知: , ,得: ,即,,

整理得: ,得: 或 ,则 或,,

,即: ;

【点评】此题主要考查考生对正余弦定理的理解和运用,属于中等题 .第 一问观察角度与边的关系,运用正弦定理和余弦定理进行求解.第二问运 用正弦定理和辅助角公式解得 .此题属于解三角形中的基础题型,旨 在考查考生的基础是否扎实. 18.(12 分) 如图, 直四棱柱 的底面是菱形, , , , , , 分别是 , , 的中点. (1)证明: 平面 ;

(2)求二面角 的正弦值. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 【答案】 (1)见解析(2) 【解析】 (1)∵ , ∴ 是平行四边形 ∴ , 连接 , ,则,又∵ 为 的中点 ∴ , ∴四边形 是平行四边形 ∴ ∵ 平面 , 平面 ∴ 平面 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 (2)以 为原点,以,,

分别为 , , 建立空间直角坐标系 则,,

,设平面 的法向量为 , , ∵ ,∴ ,解得 设平面 的法向量为 , , ∵ ,∴ ,解得 设二面角 所在的平面角为 ,则 ∴二面角 的正弦值为 【点评】难度中等.第一问辅助线做法属于常规操作;

第二问题型问法与 往年相比,基本没有大变化 19.(12 分) 已知抛物线 的焦点为 ,斜率为 的直线 与 的交点为 , , 与 轴的交点为 . (1)若 ,求 的方程;

(2)若 ,求 . 【答案】:(1) ;

(2) 【解析】(1)如图所示: 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 设,,

分别过 、 做抛物线准线的垂线交准线与 、 , 所以 , ,所以 ,所以 ①;

设 的方程为 ,与抛物线联立可得: ,所以 ②;

联立①②可得: ;

所以 的方程 ;

(2)设,,

的方程为 ,当时③, 联立直线与抛物线可得: ,所以 ④,联立③④可得所以 的方程为 , 所以 , 所以 , 所以, . 【点评】本题主要考察了抛物线的定义以及用韦达定理来求解圆锥曲线中 的参数,属于中等题,第二问中需要在向量中提炼坐标关系,并且要联立 方程消去 ,这点比较需要注意. 20. (12 分) 已知函数 , 为 的导数, 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 证明: (1) 在区间 存在唯一极大值点;

(2) 有且仅有 个零点. 【答案】略 【解析】 (1) 当时, 在 上恒成立, 在 上单调递减 在 上存在零点,记为 , 当时, ,当时, , 在区间 存在唯一极大值点 . (2) ①当时, , 无零点;

②当时, 在 上有一个零点;

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20 ③当时, , 由(1)可知 恒成立, ,即,当时, ,当时, , 当时, ,当时, 存在 ,使得 ,即在上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减, 在 上有且只有一个零点,即,综上所述, 有且仅有 个零点. 【点评】 这次高考导数罕见的没出现在压轴位置,而是放在了倒数第二题.所考察 方法与知识点中规中矩,整体难度中等偏难. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 第一问一改往年常考的含参讨论单调性,转而利用 零点存在性定理 证 明函数存在极值,且此处找到的极值点对第二问有很大的启发和帮助.第 二问是往年的热门题型: 零点个数问题 ,利用 零点存在性定理 的核 心在于 找点 . 本题需要考生有扎实的基本功,对于常见的处理导数的方法与技巧要熟练 掌握,走江湖地利用 洛必达 描述函数图像在本题是行不通的. 21(12 分) 为治疗某种疾病,研制了甲,乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为 此进行动物实验.实验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试 验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗 结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治 愈的白鼠多 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便 描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠 未治愈则甲药得 分,乙药得 分;

若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白 鼠未治愈则乙药得 分,甲药得 分;

若都治愈或未治愈则两种药均得 分. 甲, 乙两种药的治愈率分别记为 和,一轮试验中甲药的得分记为 . (1)求 的分布列;

(2)若甲药,乙药在试验开始时都赋予 分, 表示 甲药的累 计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效 的概率,则,其中,,

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20 ,假设 . (i)证明: 为等比数列;

(ii)求 ,并根据 的值解释这种方案的合理性. 【答案】 (1)根据题意, 的分布列为 (2)i)根据题意 .进而 于是 , 因此 为等比数列. ii)根据 i)的结果,当时,有 分别取 ,累加可得 因此 . 由 的值很小,说明这种试验方案可以准确的将更有效的乙药分辨出来. 【点评】 (1)难度难题.一直以来

21 题的位置几乎都是导数的天下,概率统计大 题从

2018 年高考开始往压轴靠近,今年终于 喧宾夺主 放在最后一题, 表明全国教育变革的决心, 也一直贯彻考纲 解决实际问题 的出题导向. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 (2)区分度明显.本题实际难度并非很大,但今年高考大题打破常规,顺 序的调整会打乱考生的节奏,部分考生不敢轻易花时间做本题,并且本题 乍看之下以为很麻烦,实际情况就是第一问送分题,简单分布列;

第二问 则披着概率统计的外衣,实际是考察数列中构造新数列的思维,根据提示 难度不是很大;

第三问则仿照

2017 年出发,考察小概率事件的实际运用. (3)导向明确.2018 年概率统计结合函数导数考察,今天概率统计结合数 列考察,故全国卷继续贯彻 结合数学知识解决实际问题 的导向,应该 是接下来全国卷的趋势. 22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数) .以坐 标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线 的极坐标方程 为(1)求和的直角坐标方程;

(2)求 上的点到 距离的最小值 【答案】 (1) , ;

(2) 【解析】 (1)由 的参数方程可得 , ,可得 ,代入 化简可得 的直角坐标方程为 ;

极坐标方程中令可得直线的直角坐标方程为.(2)由 的直角方程课得其另一参数方程形式: ( 为参数) ,可 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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20 得上的点到直线的距离,........