PDF《热场动力学理论 中的》

第59 卷第3期2010 年3月10003290 /

2010 / 59( 03)/1775

05 物理学报ACTA PHYSICA SINICA Vol.

59, No. 3, March,

2010 A2010 Chin. Phys. Soc. 热场动力学理论中的Husimi 分布函数及Wehrl 熵的研究王帅L张丙云张运海(菏 泽学院物理系,菏 泽274015) (

2008 年11 月25 日收到;

2009 年6月13 日收到修改稿)利用量子相空间技术和信息熵理论,研 究了热场动力学理论中量子纯态与相应混合态的Husimi 分布函数及Wehrl 熵的一致性问题.结果表明,热 相干态与相应混合态的Husimi 分布函数及Wehrl 熵完全相同,支持了热场动力学理论.且热相干态的Wehrl 熵与平移因子无关,故 在热相干态中,量 子系统的可观测量的量子涨落及不确定关系也与平移因子无关.关键词:热 场动力学理论,Husimi 分布函数,Wehrl 熵PACC:4250,0365 山东省自然科学基金(批 准号:Y2008A16)和菏泽学院自然科学基金(批 准号:XY09WL01)资助的课题.LEmail:wangshuai197903@ sohu. com

1 引言Takahashi 与Umezawa 在1975 年提出了热场动力学理论(TFD),这一理论使得量子系统处于非零温度时的系综平均值可以等价地转换为对一个量子纯态的期望值[1],并给出了热真空态的表达式.随后热相干态和热压缩态等量子纯态相继被提出[2,3],并在量子统计和量子光学中得到了广泛应用[4― 9]. Fan 于1991 在计算量子系统可观测量的热平均时发现,热 真空态的Wigner 函数与相应混合态的Wigner 函数是一致的[10]. 受此启发,文 献[11]研究了TFD 理论中热相干态与相应混合态的Wigner 函数的一致性问题.他们的研究结果支持了TFD 理论.但是由于Wigner 分布函数的非正定性质,故 不能作为一个概率分布函数,通 常称之为准概率分布函数[12]. 为了克服这个缺点,Husimi 在Wigner 函数定义的基础上引入了Husimi 分布函数[13],它是一类相空间正定概率分布函数.Husimi 分布函数对于讨论热平衡态动力学问题、量子信息熵(尤 其是Wehrl 熵 )等 有着非常重要的意义,故 近年来量子态的Husimi 分布函数越来越受到人们的重视[14― 16]. 本文利用量子相空间理论,首 先给出TFD 理论中量子纯态―――热相干态的Husimi 分布函数,并 研究热相干态与相应混合态的Husimi 分布函数一致性问题.其次由Husimi 分布函数,给 出热相干态的Wehrl 熵.而量子态的Wehrl 熵是一种量子系统可观测量的量子涨落及不确定关系的最好度量[14]. 最后根据热相干态的Wehrl 熵 ,研 究量子系统在热相干态下,可观测量的量子涨落及不确定关系与平移因子的关系.2 热相干态的Husimi 分布函数在量子力学中,通 常采用态矢量或波函数来描述和确定系统所处的状态.如果某个量子系统的状态能在希尔伯特空间由一个态矢量或波函数来描述,即 可表示为|ψ〉,且满足归一化条件,这 样的量子态称为量子纯态.在谐振子相干态表示的量子相空间中,量 子纯态的Husimi 分布函数的定义为[15] μ p, ( ) q = 〈z ψ〉〈ψ z〉. ( 1) 式中z〉= exp -

1 2 z

2 + za [ ] L 0〉为Glauber 提出的相干态[17], 它在量子光学等领域有着重要应用.1776 物理学报59 卷在量子统计和量子光学等领域,热 相干态也有着广泛应用.常用的热相干态定义如下[2]: τ〉DT = D(τ) 0〉T , 0〉T = T(θ)

00 ~ 〉, ( 2) 式中0〉T 为热真空态,D(τ)= exp(τaL - τ a)为标准平移算符,T(θ)= exp[- θ(aa-aL aL )]为热压缩算符.对于处在热库中的一维谐振子系统,热 真空态[18]为0〉T = (

1 - e- βω )1 /

2 exp(e- βω /

2 aL aL )

00 ~ 〉, 则相应的热相干态表达式为τ〉DT = D(τ) 0〉T = (

1 - e- βω )1 /

2 D(τ) * exp(e- βω /

2 aL aL )

00 ~ 〉. ( 3) 式中的aL 是虚构希尔伯特空间中的玻色产生算符,与希尔伯特空间中的玻色产生算符aL 相对应.由(3)式可知,热 相干态是双模量子纯态.为了求其Husimi 分布函数,我 们引入如下双模相干态形式[18]: zz〉= exp -

1 2 z

2 -

1 2 z2+za+ + z a [ ] +

00 ~ 〉. ( 4) 利用IWOP 技术[18],容易证明双模相干态满足归一化条件∫d2 zd2 zπ2z z〉〈zz=1. 则热相干态的Husimi 分布函数可表示为μ(pp, qq)= 〈zzτ〉DTDT 〈τ zz〉. ( 5) 把(3)和(4)式代入(5)式 ,并 利用算符的正规乘积形式,可 得在希尔伯特和虚构希尔伯特所组成的相空间中Husimi 分布函数为μ(pp, qq)= (

1 - e- ωβ ) [ exp e- ωβ /

2 (z - τ )z - (z - τ )(z - τ)- z2+e- ωβ /

2 (z - τ)]z.(6) 由Husimi 函数的归一化条件∫d2 zd2 zπ2μ(pp, qq)= 1, 对虚构希尔伯特空间进行积分,就 可得出在希尔伯特空间中的Husimi 分布函数,即 μ(p, q)= ∫ d2 zπ(1-e- ωβ ) * [ exp e- ωβ /

2 (z - τ )z - (z - τ )(z - τ)- z2+e- ωβ /

2 (z - τ)]z=(1-e- ωβ ) [ exp - (

1 - e- ωβ ) * (z - τ )(z - τ ] ) . ( 7) 这就是热相干态的Husimi 分布函数.推导中利用了如下公式:∫d2 z π eλ z

2 + fz + gz = -

1 λ e- fg / λ ,

00 ~ 〉〈

00 ~ = : e- L - ~ L ~ : . ( 8) 式中::表示算符的正规乘积形式.再利用积分式(8),易证明热相干态的Husimi 分布函数满足归一化条件∫d2 z π μ(p, q)= 1. ( 9) 当平移算符D(τ)= 1,即τ=0时,可 以得到热真空态的Husimi 分布函数μ(p, q)=

1 - e- ( ) ωβ * exp -

1 - e- ( ) ωβ z [ ]

2 . ( 10) 以上通过引入双模相干态,得 到了量子纯态―――热相干态的Husimi 分布函数,其 值恒为正值,且与平移因子有关.利用双模相干态表象和算符的正规乘积形式来计算量子态的Husimi 函数显的非常简洁方便,这 是利用相干态表象和算符正规乘积形式进行有关量子计算的优点.下面我们进而研究热相干态的Wehrl 熵.3 热相干态的Wehrl 熵信息熵是信息科学中的一个基本量,由 统计物理理论知,信 息熵是描述量子系统可观测量量子涨落及不确定关系的最好度量.特别是量子态的Wehrl 熵 ,在 量子统计物理中是非常有用的工具,是一种关于量子效应和热效应所引起的不确定关系的最好度量[14, 15]. 文献[19]给出Wehrl 熵的如下定义:IW = - ∫ dpdq 2π μ(p, q)lnμ(p, q). ( 11) 按照Wehrl 熵的定义(11 )式 ,把 (7)式代入(11 ) 式 ,在 相干态表示的量子相空间中,得IW = - ∫ d2 z π (

1 - e- ωβ ) * [ exp -

1 - e- ( ) ωβ * (z

2 - τ z - τz + τ

2 ] ) * ln

1 - e- ( ) ωβ - ∫ d2 z π

1 - e- ( ) ωβ * [ exp -

1 - e- ( ) ωβ

3 期王帅等:热 场动力学理论中的Husimi 分布函数及Wehrl 熵的研究1777 * (z

2 - τ z - τz + τ

2 ] ) [ * -

1 - e- ( ) ωβ * (z

2 - τ z - τz + τ

2 ] ) ≡IW1 + IW2 , ( 12) ( 12)式的第一项IW1 采用积分式(8),得IW1 = - ∫ d2 z π

1 - e- ( ) ωβ * [ exp -

1 - e- ( ) ωβ * (z

2 - τ z - τz + τ

2 ] ) * ln

1 - e- ( ) ωβ = - ln

1 - e- ( ) ωβ . ( 13) 在(12 )式的第二项,令 λ = -

1 - e - ( ) ωβ ,f = - τ λ, g = - τλ. 若直接对(12)式积分,积 分过程会十分的复杂,在 此采用一巧妙的数学变换有IW2 = exp(λ τ

2 ) * ∫ d2 z π λ(λ z

2 + fz + gz + λ τ

2 ) * exp(λ z

2 + fz + gz ) = exp(λ τ

2 ) [ * λ

2 λ∫ d2 z π exp(λ z

2 + fz + gz ) + λf f∫ d2 z π exp(λ z

2 + fz + gz ] ) + exp(λ τ

2 ) * λg g∫ d2 z π exp(λ z

2 + fz + gz [ ) + λ

2 τ

2 ∫ d2 z π exp(λ z

2 + fz + gz ] ). ( 14) 再利用积分式(8 ),在整个相空间对(14 )式积分,得 IW2 = 1. ( 15) 把(13)和(15)式代入(12)式,得IW = IW1 + IW2 =

1 - ln(

1 - e- βω ). ( 16) 这样我们就通过一个巧妙的数学变换,得 到了热场动力学理论中热相干态,这 一量子纯态的Wehrl 熵.显然,热 相干态的Wehrl 熵随温度的增加而增加.另外热相干态的Wehrl 熵与平移因子τ无关.这一结果表明在热相干态下,量 子系统的可观测量的量子涨落及不确定关系也与平移因子τ无关.由热真空态的Husimi 分布函数(10 )式和Wehrl 熵的定义(11)式 ,可 得这样的结论,虽 然热真空态与热相干态的Huismi 分布函数不同,故 其物理量的期望值也不同,但 它们的Wehrl 熵完全相同.这一结果表明,在 热相干态或热真空态下,量 子系统的可观测量的量子涨落及不确定关系完全相同,这 与目前研究结果相一致[7, 8]. 下面研究热相干态这一量子纯态与其相应混合态的Husimi 分布函数及Wehrl 的一致性问题.4 混合态的Husimi 分布函数和Wehrl 熵在有限温度T时,量 子系统以一定的概率处于某一个量子态上,需 要用一组态矢量及其概率来描述,即 系统处于混合态.对于处于热平衡的系统,混合态常用与吉布斯正则分布相联系的密度矩阵来表征,其 密度矩阵可表示为[20] ρT = Z -1 e- βH , ( 17) 式中Z=Tr e - β ( ) H 为配分函数,这 时量子系统处在自由热态,由 能量本征态所组成的混合态.由于密度矩阵包含了量子态的概率分布及相位等信息,所 以由密度矩阵ρ所构建的Husimi 分布函数一样也包含了量子态的所有量子信息.利用算符恒等式eλaLa = : exp[(eλ - 1)aL a]: [ 18],把ρT = Z -

1 e - βH 化为正规乘积形式有ρT = (

1 - e- ωβ ) *: exp[- (

1 - e- ωβ )aL a]: , ( 18) 对于热场中一维谐振子系统的哈密顿量H=ω aL a + ( )

1 2 . 配分函数Z在能量本征态表象中为Z=Tr e- β ( ) H = ∞ n =

0 〈n e- βH n〉 = ∞ n =

0 e- ωβ n + ( )

1 2 = e-

1 2 ωβ

1 - e- ωβ . ( 19) 由(18)式 ,可 以得到与热相干态这一量子纯态相对应的混合热态的密度矩阵为[2] ρT (τ)= D(τ)ρT DL (τ) = (

1 - e- ωβ ): exp[- (

1 - e- ωβ ) * (aL - τ )(a - τ)]: ( 20) 在谐振子相干态表示的量子相空间中,密 度矩阵ρ构建Husimi 分布函数的定义如下[14]: μ p, ( ) q = 〈 z ρ z〉 , ( 21)

1778 物理学报59 卷因此,把 ( 20)式代入到(21)式 ,得 μ p, ( ) q = 〈z ρ z〉 =

1 - e- ( ) ωβ [ exp -

1 - e- ( ) ωβ * (z - τ )(z - τ ] ) . ( 22) 比较(22)式和(7)式 ,可 知 ,热 相干态的Husimi 函数与混合态的Husimi 函数是相同的.并且根据Wehrl 熵的定义,热 相干态与相应混合态的Wehrl 熵也完全一致.这一研究结果与文献[11]中给出的热相干态的Wigner 函数与混合态的Wigner 函数视为同一在理论上相一致.当平移算符D(τ)= 1,即τ=0时,得到自由热态(混 合态)Husimi 分布函数μp, ( ) q =

1 - e- ( ) ωβ * exp -

1 - e- ( ) ωβ z [ ]

2 ( 23) 与Anderson 等人[14]的结果相一致.对比(23)式和(10)式 ,可 以得到这样的结论,热 真空态的Husimi 函数与自由热态的Husimi 函数是相同的.且根据Wehrl 熵的定义,热 真空态与相应混合态的Wehrl 熵也完全一致.这一结果又与热真空态和自由热态的Wigner 函数视为统一在理论上是相一致的[10].

5 结论本文利用量子相空间技术和信息熵理论,通 过引入双模相干态,给 出了TFD 理论中的热相干态的Husimi 分布函数.进而利用一巧妙的数学变换,简 捷地得到了热相干态的Wehrl 熵.并与相应混合态的Husimi 分布函数及Wehrl 熵进行了比较.结果表明,热 相干态与相应混合态的Husimi 分布函数及Wehrl 熵完全相同.且根据热相干态的Wehrl 熵与平移因子无关,故 在热相干态下,量 子系统的可观测量的量子涨落及不确定关系也与平移因子无关.所以本文的研究结果不但支持了TFD 理论的正确性,还 对TFD 理论中量子态的相空间分布函数和Wehrl 熵的研究具有很好的参考价值.[1] Takahashi Y,Umezawa H

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