PDF《晶体中隐含的半群结构》

! "# 卷($%%& 年) # 期! 01,

12 晶体中隐含的半群结构 陈! 难! 先 (清华大学物理系! 北京! 3%%%45) 摘! 要! ! 序列性和莫比吾思反演已应用到物理中各类逆问题, 诸如黑体辐射逆问题、 比热逆问题和各类费米体系 逆问题, 文章要介绍这种方法对提取体材料中原子相互作用势的结合能逆问题的应用, 以及对提取界面两侧原子间 相互作用势的界面粘结能逆问题的应用, 这些方法的关键是要发现对象体系中的半群结构, 关键词! ! 晶体, 半群结构, 逆问题 0&.

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5 2A 02@ BCD/-E F=('>@ '0E D==2 0)0 G0?/=(H >I /2G=?E= )?>D.=FE /2 )'HE/1E,E-1' 0E ('= /2G=?E= D.01JD>@H,'=0( 10)01/(H 02@ K=?F/ EHE(=F )?>D.=FE, L=1=2( )?>A?=EE /2 ('= 0))./10(/>2 >I ('/E F=('>@>.>AH (> ('= /2G=?E= 1>'=E/>2 )?>D.=F I>? /2(=?:0(>F/1 )>(=2(/0.E /2 D-.J F0(=?/0.E 02@2G=?E= 0@'=: E/>2 )?>D.=F I>? /2(=?:0(>F/1 )>(=2(/0.E 01?>EE /2(=?I01=E /E ?=G/J=H E(=) /2 ('/E F=('>@>.>AH /E (> =M: E=F/:A?>-) E(?-1(-?= /2 ('= EHE(=F -2@=? 1>2E/@=?0(/>2, 6$07+*#&5

5 1?HE(0.,E=F/:A?>-),/2G=?E= )?>D.=F $%%& N %5 N %& 收到 ! ! 在物理世界中处处都有对称和序列性, 事实上, 物理系统内在代数结构的发现是十分重要的, 例如, 群对称就是物理应用多样的抽象代数中最老和最丰 富的分支之一, 在固态物理中晶体的空间群提供了 许多对固体电子论的重要结果, 如布洛赫波和能带 论, 这里考虑固体中一些其他对称和序列性, 比群更一般的概念是半群, 半群中的元素一般 没有逆元素存在, 尽管半群在数学中极有用, 但它在 物理中相对来说还是相当新的, 而且没有多少应用, 本文企图揭示固体中的半群结构及其对原子间 相互作用势的应用, 这对分子动力学及其重要, 为简 便, 讨论从简单的方格子开始, 3! 简单低维体系的结合能逆问题 假定一个单原子晶体的结合能可以表示为对势 之和

9 (:) ;

3 $ $ (() :) , (3) 此中 : 是最近邻距离, ! 是晶格格矢量, ! (%)是对 势, > (()表示以 : 为单位的第 ( 近邻距离,% (()是 配位数? 二体近似在多数情况下还是可接受的? 晶体 结合能逆问题是要由实验或计算中的结合能曲线

9 (:) 中提取原子相互作用势, 8,

85 一维原子链 对一维原子链, 方程 (3) 可表示为

9 (:) ;

3 $ $ @= ( ;

@3 ! ((:)A $ = ( ;

3 ! ((: [ ] );

$ = ( ;

3 ! ((:) , ($) 依数论中 BCD/-E 反演定理 [3] ,解应是 ! (:);

$ = ( ;

3 " (()

9 ((:) , (") 这里的反演系数 " (() 是"(();

3,( ;

3 ( @ 3) . , ( ;

#3 #$ …#. %,#$ & { ( (5) 上式表明反演系数 " (()只取 B

3 (当(为相异素数 之积) 和零 (当(含重复素因子) , BCD/-E 反演公式 对物理学已有重要应用如在比热逆问题上统一了爱 因斯坦和德拜的解 [$―5] ,

89 :5 :;

方格子 对图

3 所示方格子, (3) 式成为 ・ < = > ・ 清华物理 4% 年!""#: 物理 ! (")# . / $ ($, %) % (0, 0) ! , (1) 此中 是复整数& 相应的逆问题是根据方 格 子结构{!} 和经验的或第一原理的结合能曲线 ! (") 提取 ! (') ( 把(1) 式改写成 ! (")# . / $ ) * # . + (*) ! (, (*) ") , (2) 此中系数易用计算机得出 (用初等数论也可导出) & 图.- 二维方格中等距离点分布 考虑到任何两个复数之积仍为复数,

3 ) , (4) 即有对任何正整数 . 和*, 必存在 / 使,(.) , (*)# , (/) , (5) 换言之, {, (*) }相对于乘法是封闭的, 或{, (*) } 构成乘法半群& 因此方格子结合能逆问题的解可写成 ! (")# /$ ) * # .

0 (*) ! (, (*) ") ( (6) 相应反演系数

7 (,) 可用递推得出 $ , (*)

1 , (/)

0 (*) + ,-. [ , (/) , (*) ( ) 0) 这里 , (*)

1 , (/)意指 , (/)

2 , (*) '{, (*) } ( 以上 说明半群性质 , (.) , (*)# , (/) 在解逆问题时的重 要性& /- 任意三维格子结合能逆问题 简格子 这时 (.) 式仍有效, ! (")# . / $ ) * # . + (*) ! (, (*) ") , (..) - - 变化的是 {, (*) } , 表.列出正方格子前

10 个[, (*) ] / 值, 由此看出, 所谓的半群不再成立( 例如 对.#8和*#1,就找不到一个 / 使,(/)# , (8) , (1) ( 同样, 也找不到 / 使,(/)# , (8) , (./)#

8 9 .

8 或,(/)# , (

1 ) , ( .4 )#

1 9 .6 … ( 换言之,{: (,) } 对乘法不再封闭& 凡方程 (.) 不好解& 表.- 正方格子前

10 个[, (*) ] / 值./8;

1256.0 .. ./ .8 .;

.2 .4 .5 .6 /0 /. // /;

/1 /2 /4 /5 /6

80 8/

88 8;

81 82

84 85 ;

0 ;

. ;

/ ;

8 ;

;

;

1 ;

2 ;

5 ;

6

10 1. 1/

18 1;

12 14 !" !$ 任意 %& 晶格 对一般晶格, 上述不再封闭的情况更明显& 但我 们发现, 任意一个三维晶格中都存在隐藏的半群结 构,方程(.)的解决并不困难[1, 2] & 事实上,在{, (*) } 中元素间进行不断的相乘运算, 即可把对乘 法不封闭的集合拓展成对乘法封闭的集合{

3 (*) } ( 即对任意 . 和*,必存在 / 使3(/)#

3 (.)

3 (*) ( 这时, 结合能方程变为 ! (")# . / $ ) * #

0 ' (*) ! (3 (*) ") , (.8) 此中 ' (*) # + (,-. (3 (*) ) ,3 (*) ' {, (*) } 0,3 (*) ( {, (*) } { ( (.;

) 注意, 为了从结合能解出原子间势, (.8) 式和 (.) 式 没有任何区别& 但(.8) 式揭示出任意晶格中内在的 隐藏的一种半群性质, 它对解决上述这类逆问题十 分关键& 有了半群结构, (.8)式立刻可写出为 ! (")# /$ ) * # .

0 (*) ! (3 (*) ") , (.1) 此中反演系数

0 (*) 满足 $

3 (*)

1 3 (/)

0 (*) ' 3-. [

3 (/)

3 (*) ( ) 2) (.8) ― (.2)式宜用来提取不同化学键合材料中的 原子间相互作用势& 由此, 稀土金属间化合物如 ,5 ?;

, AB" ) / CD.1&

1 E.&

1 ,F/ (CD, ?)) .4 C" , F8 (GH, ?) /6 ,?!.?* (.I* J 4I8, /I., .I.,8I1,.I/, .I8, .I1,.I2,/I.4)已有成功计算 [4―..] & 同时, 多 种半导体化合物、 离子晶体和过渡金属碳氮化合物 K(