PDF《2019年 暑期学校测 试题》

2019年年年暑 暑 暑期 期 期学 学 学校 校 校测 测 测试 试 试题 题题1.

(25分)用初等方法证明形如4k + 1的素数有无穷多个, 其中k为正整数. 2. (25分)设Fq是q元有限域, V 是Fq上的有限维线性空间, dim V ≥ 2. 证明 (1)不存在V 的q个真子空间Wi,

1 ≤ i ≤ q, 使得V = ∪q i=1Wi, (2)存在V 的(q + 1)个真子空间Wi,

1 ≤ i ≤ q + 1, 使得V = ∪q+1 i=1 Wi. 3. (25分)设En 是n维欧氏空间, m ≤ n, v0, v1,vm是En 中(m+1)个向量, 满足(vi, vj) < 0,

0 ≤ i ?= j ≤ m. 求证向量v1,vm线性无关. 4. (25分)设正整数n的分拆集合为 P(n) = {(n1,nk) | k ∑ i=1 ni = n, n1 nk > 0}. 定义P(n)的子集 S(n) = {(n1,nk) ∈ P(n) | n1 nk > 0}, T (n) = {(n1,nk) ∈ P(n) | 其中ni都为奇数}, 记s(n) = #S(n), t(n) = #T (n). 求证: s(n) = t(n). 1